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CHAPITRE 13. APPENDICE MATHEMATIQUE
Soit en terme de distribution :
lim
;( J = Y(µ-E).
T-,0 1 + E-µ
Cherchons un developpement systematique au-dela de la fonction de Heaviside
Y. Pour cela, 6tons de l'integrale sa partie dominante. Soit a evaluer
l +oo ~(E)
lµ
A=
ef3(E-µ) dE~(E)dE.
00
1 +
-00
Posons j3(E-µ) = x et separons !'integration pour x > 0 et x < 0.
1 lo ~(µ + ~) 1 lo x 1 loo ~(µ + ~)
~(µ+-)dx+dx,
J3 -00 e-"+l
J3 -00
J3
J3 0 e-"+l
ou encore en regroupant et en changeant x en -x pour les valeurs negatives de x
A=~ (
00 dx- 1 -(~(µ+:::_)-~(µ-:::_))
/3 Jo eX + 1
/3
/3
qui peut s'approcher (au second ordre) par:
l l
00
1 X
A ::,e -
dx--- 2~'(µ).
J3 0
e-"+1/3
Or
roo X
7f2
Jo eX+ 1 dx= 12
On le demontre par un procede tout a fait analogue au calcul precedent (on
multiplie par e-x haut et bas !'integrand, puis on fait un developpement en serie).
II reste alors que
1
n 2 o'
ef3( ) ::,e Y(µ-E)- - - 2 (E-µ) + ...
1 + E-µ
6 /3
En effet si V¢, la distribution Test telle que < T,¢ >= -¢'(µ), alors T = o'(x-µ).
Ceci justifie les developpements utilises a basse temperature.
On aura egalement besoin de connaitre des integrales de type
la= (
00 ~dx, avec a>O.
Jo e-"-1
En multipliant encore par e-x et en developpant on trouve immediatement que
la= f(a+ l)(a+ 1),
ou ( (a) = L n-a est la fonction de Riemann. En particulier h = ~ et h = fs.