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CHAPITRE 13. APPENDICE MATHEMATIQUE
ou fest une fonction derivable. L' exemple le plus fameux est la suite geometrique
(13.30)
QuandN -oo
- elle diverge si Jill > 1 en tendant vers l'infini
- elle tend vers O si JAi < 1
- elle est constante et vaut xo si il = 1
elle diverge sans tendre vers l'infini si Jill= 1 avec tU i= 0.
Prenons deux autres exemples que nous considererons plus tard :
Xn+ I = ~ (xn + !!:_),
2
Xn
(13.31)
(13.32)
Sauf pour la suite geometrique (x11 = il 11 x0 ) et quelques cas rares on ne sait pas exprimer
de fa<;:on compacte x11 en fonction de Xo, On peut neanmoins etudier la suite avec la
methode suivante. Soit x* un point fixe de cette suite, c'est-a-dire une solution de
!'equation
x* =f(x*).
(13.33)
Si la suite definie par l'Eq. 13.29 converge et a pour limite l, alors X11+1 et x11 tendent
vers let par passage a la limite clans l'Eq. 13.29, on obtient bien l'Eq. 13.33. Mais ceci
ne signifie pas la reciproque: tout point fixe n'est pas necessairement 3 limite. Bien sur si
on part exactement de x0 = x*, la suite reste constante. Mais que se passe-t-il si on part
d'une valeur voisine? Reecrivons l'Eq. 13.29
X11+1 -x* = f(x11)-x* = f(x11)-f(x*).
Faisons un developpement autour de x*, il reste
X11+1-x*=(x11-x*)A avec il=f'(x*).
Posons X11 = x11 -x*, on se ramene a la suite geometrique (13.30). Conclusion, si
la fonction est derivable, il faut la condition lf' (x* )I < 1 pour que le point fixe soit
egalement limite de la suite.
Exercice 13.2. Calculer la limite de la suite (13.31). Y-a-t-il sensibilite aux conditions initiales?
3 Et d'ailleurs ii peut y avoir plusieurs points fixes, alors que la limite est unique.
CHAPITRE 13. APPENDICE MATHEMATIQUE
ou fest une fonction derivable. L' exemple le plus fameux est la suite geometrique
(13.30)
QuandN -oo
- elle diverge si Jill > 1 en tendant vers l'infini
- elle tend vers O si JAi < 1
- elle est constante et vaut xo si il = 1
elle diverge sans tendre vers l'infini si Jill= 1 avec tU i= 0.
Prenons deux autres exemples que nous considererons plus tard :
Xn+ I = ~ (xn + !!:_),
2
Xn
(13.31)
(13.32)
Sauf pour la suite geometrique (x11 = il 11 x0 ) et quelques cas rares on ne sait pas exprimer
de fa<;:on compacte x11 en fonction de Xo, On peut neanmoins etudier la suite avec la
methode suivante. Soit x* un point fixe de cette suite, c'est-a-dire une solution de
!'equation
x* =f(x*).
(13.33)
Si la suite definie par l'Eq. 13.29 converge et a pour limite l, alors X11+1 et x11 tendent
vers let par passage a la limite clans l'Eq. 13.29, on obtient bien l'Eq. 13.33. Mais ceci
ne signifie pas la reciproque: tout point fixe n'est pas necessairement 3 limite. Bien sur si
on part exactement de x0 = x*, la suite reste constante. Mais que se passe-t-il si on part
d'une valeur voisine? Reecrivons l'Eq. 13.29
X11+1 -x* = f(x11)-x* = f(x11)-f(x*).
Faisons un developpement autour de x*, il reste
X11+1-x*=(x11-x*)A avec il=f'(x*).
Posons X11 = x11 -x*, on se ramene a la suite geometrique (13.30). Conclusion, si
la fonction est derivable, il faut la condition lf' (x* )I < 1 pour que le point fixe soit
egalement limite de la suite.
Exercice 13.2. Calculer la limite de la suite (13.31). Y-a-t-il sensibilite aux conditions initiales?
3 Et d'ailleurs ii peut y avoir plusieurs points fixes, alors que la limite est unique.