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CHAPITRE 13. APPENDJCE MATHEMATIQUE
Exercice 13.1. [PD] [Chainette] On considere un fil pesant, clans le plan vertical,
de longueur l donnee et attache en deux points sur l'axe des x en x = 0 et x == a.
Calculer sa forme d'equilibre.
Indication. Soit y(x) !'equation de cette forme. On ales conditions aux limites
y(O) == y(a) == 0 et la contrainte
(13.19)
L'equilibre sera atteint quand le centre de gravite sera le plus bas possible, soit
quand
( 13.20)
sera m1mmum.
13.8 Rappels succincts de mecanique analytique
13.8.1 Equations de Lagrange
On utilise q, coordonnees generalisees a la place de x. Par exemple a 3d, q peut signifier
{x,y,z) ou {r,8,¢). Avec N particules, c'est un vecteur d'un espace a 3N dimensions et
en cartesiennes on aura
On introduit le Lagrangien
L(q,q) = K-V,
ou K est l' energie cinetique et V l' energie potentielle. On se limitera au cas ou K a la
forme K = I, a;iJ} ou a et V sont des fonctions de q seulement (et pas de q ou de t). 11
s'agit d'un mouvement conservatif
Sur la droite a ld:
L = l/2mx 2 - V(x).
(13.21)
11 faut comprendre par exemple que clans le cas a 3N dimensions
~ BL
BL
BL
BL
dL = LJ B----:dq;+-B .. diJ; note -B dq+ -B. dq.
1
q,
qi
q
q
(13.22)