13.7 CALCUL DES VARIATIONS. EQUATIONS D'EULER
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Le probleme est le suivant: comment choisir la fonction x(t) (et sa derivee) pour que
L soit extremum, sachant que x(t1) et x(t2 ) sont donnes.
Supposons qu'on ait trouve une solution, ecrivons la variation oL induite par une
petite variation ox et ox autour de la solution x(t).
oL= t
2 f(x(t)+ox,x(t)+ox,t) dt- t
2 f(x(t),x(t),t) dt.
J~
J~
La condition L extremale ou stationnaire signifie que oL doit etre nul au premier ordre
Vox.
Comme au premier ordre en o
on tire que
af . af
f (x(t) + ox,x(t) + ox, t):,; f (x(t),x(t), t) + ox ax+ ox ax'
I.
12
af
J.12 . af
oL(x(t),x(t),t)=
ox-;;-dt+
ox-;;:dt.
~
uX
~
uX
Integrer par partie la derniere integrale permet de mettre en facteur ox sous le signe
somme:
oL(x(t),x(t),t) = £ 12 ox[f- :tf] dt=O.
En effet, la partie tout integree qui s'ecrit
ox af 112
ox ti
vaut O puisque ox(ti) = ox(t2) = 0 (x(ti) et x(t2 ) sont fixes).
Comme on veut l'egalite (13.17) a zero V ox, il reste l'equation
af d af
ax - dt ax= o,
appelee equation d'Euler.
(13.17)
On verifiera qu'on retrouve bien l'equation fondamentale de la dynamique F = ma
en minimisant l'action mecanique (13.16).
Si on avait, de plus, une condition de type
I.
t2
g(x(t),x(t),t) dt=O
t1
(13.18)
(extrema lies), on opererait avec la methode des multiplicateurs de Lagrange. C'est-adire qu'on ecrirait l'equation d'Euler appliquee a la fonction
f (x(t),x(t), t) + Jg (x(t),x(t), t).
11 faudra ensuite utiliser la condition 13.18.