136
CHAPITRE 13. APPENDICE MATHEMATIQUE
13.6.1 Application
Soit n nombres positifs Pi tels que LiPi = 1 (on peut penser a des probabilites).
On appelle S = - I,p; logpi l'entropie. Montrons que l'entropie maximum implique
l'egalite de tousles Pi a 1/n. On introduit le multiplicateur de Lagrange A pour tenir
compte de la contrainte Li Pi= 1. Il faut done rechercher l'extremum de
L'annulation des derivees partielles par rapport a Pi donne logpi = -( 1 + A), pour tout
l.
On suppose qu'on se donne n reels Bi et qu'on veut assurer en plus que LiPiEi = E
(On veut conserver par exemple une energie moyenne). On ajoutera alors un second
multiplicateur de Lagrange et on cherchera l'extremum de
L'annulation des derivees partielles par rapport a Pi donnera
logpi = -(1 + A)-/3Ei,
soit
avec Z = e 1 +,i = I, e-f3E; et
13.7 Calcul des variations. Equations d'Euler
On se donne une fonction f (x(t),x(t), t), ou x et x sont elles-memes des fonctions
(inconnues) de t. On considere la fonctionnelle
f
t2
L (x(t),x(t), t) = f (x(t),x(t), t) dt.
t,
Un exemple est l'action mecanique donnee par
(13.16)