13.6 METHODE DES MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE
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Remarque: La formule (13.11) se prete bien a son evaluation par la methode du
col. On trouve ainsi souvent une approximation simple def en calculant ensuite la
transformee de Laplace inverse.
13,6 Methode des multiplicateurs de Lagrange
Soitf(x1,x2, • • • ,xn) une fonction den variables, ou fest de classe C 1 clans un domaine
1). Pour que f soit extremale a l'interieur de 'D, il faut que
af
.
-a = 0, t = 1 · · · n.
Xi
On cherche maintenant les extrema def lies par la condition
g(X1>X2, · · · ,Xn) = 0.
C'est-a-dire qu'on cherche des Xi tels que
L!:/Xj=O,
ou les dx; ne sont plus independants, mais lies par
L!! dx;=O.
Adoptons un point de vue geometrique. Considerons les 3 vecteurs: F = { %( }, G = { %! },
dx = {dx;}. On cherche les solutions de
F.dx= 0,
(13.14)
avec
G.dx=O.
(13.15)
Ce qui veut dire que Gest orthogonal au sous-espace orthogonal a F et done 2 qu'il
sont colineaires. Il existe alors un nombre A tel que F + tlG = 0. On devra done resoudre
le systeme den equations an+ 1 inconnues (x; et tl)
at +tl ag =O,
ax;
ax;
complete par
2 Ceci est clair dans 'R 3 : Jes dx sont dans le plan perpendiculaire a F, mais on peut generaliser.