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CHAPITRE 13. APPENDICE MATHEMATIQUE
En effet dx = dVN = NaN,-N- 1 dr.
Considerons maintenant la fonction f(x) = eI.x; = CT~;. Comme l'integrale
multiple se separe, on a
I f (x) dx = n I e-x; dx; = (I e-x
2 dx r = ( yrr)N.
Appliquons alors l'Eq. 13.10, il vient
( yrr)N = NaN
e-r ~-I dr = NaN-[(-).
1
00
2
1 N
o
2 2
D'ou, comme ~f( ~) = f( ~ + 1), une autre demonstration la formule 13.9.
13.5 Transformation de Laplace
(Un peu) analogue a la transformation de Fourier, la transformation de Laplace est
definie ainsi : sous reserve de convergence, on appellera F(/3) = L(f) la transformee de
Laplace de la fonctionf(E)
(13.11)
La transformee de Laplace inverse ,£,- 1 (F) redonne f. On utilisera deux proprietes qu'il
est facile de verifier :
- En prenant la definition de la fonction r,
1
l
Eµ
.C (/JJi+I) = f(µ + 1) Y(E) avec µ >-1.
- Comme pour la transformee de Fourier, en passant par l'integrale double
L(f * g) = L(f)L(g).
Transformee de Laplace inverse
On peut montrer qu' elle est donnee par
f(E)=L- 1 (F)=~ ( /EF(/3)df3,
2trr Jti.
( 13.12)
(13.13)
ou 11 represente une droite parallele a l'axe des ordonnees, et situee n'importe ou a
droite des singularites de F