13.4 VOLUME ET SURFACE DE L'HYPERSPHERE
133
et son minimum to = x. L'application de (13.4) donne directement la formule de
Stirling
(13.7)
13.4 Volume et surface de !'hypersphere
Dans l'espace a N dimensions,
(13.8)
ou aN est le volume de la sphere de rayon 1.
ou encore
ou la seconde integrale est la mesure du volume de la sphere de rayon ~1-xf de
( '
2 N-1
aN = 2aN-I Jo (l-x) 2 dx
En posant x 2 = t, le calcul de l'integrale se ramene a celui d'une fonction B(N + !, ! )
(voir Eq. 13.4) qu'on exprime a l'aide des fonctions r. Finalement on trouve en
resolvant la relation de recurrence :
(13.9)
L'expression (13.9) sera generalement evaluee a l'aide de la formule de Stirling.
Remarque: On peut donner une autre demonstration de la formule 13.9. Elle est plus
rapide, mais necessite une astuce.
Soit f (x) une fonction integrable sur
(13.10)
133
et son minimum to = x. L'application de (13.4) donne directement la formule de
Stirling
(13.7)
13.4 Volume et surface de !'hypersphere
Dans l'espace a N dimensions,
(13.8)
ou aN est le volume de la sphere de rayon 1.
ou encore
ou la seconde integrale est la mesure du volume de la sphere de rayon ~1-xf de
( '
2 N-1
aN = 2aN-I Jo (l-x) 2 dx
En posant x 2 = t, le calcul de l'integrale se ramene a celui d'une fonction B(N + !, ! )
(voir Eq. 13.4) qu'on exprime a l'aide des fonctions r. Finalement on trouve en
resolvant la relation de recurrence :
(13.9)
L'expression (13.9) sera generalement evaluee a l'aide de la formule de Stirling.
Remarque: On peut donner une autre demonstration de la formule 13.9. Elle est plus
rapide, mais necessite une astuce.
Soit f (x) une fonction integrable sur
(13.10)