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CHAPITRE 13. APPENDICE MATHEMATIQUE
Demonstration. On ecrit le produit r(p)r(q) comme une integrale double en cartesiennes, puis on passe en polaires. Reste a poser cos 2 B = t pour achever la demonstration 1 •
13.2 Methode du col (vision tres sommaire)
Soit a evaluer
J = J e-f(t)dt,
quand f(t) est une fonction tres grande > 0, sauf autour d'un minimum to. Utilisons le
fait que !'integrand ne prendra de valeurs notables qu'autour de t0 ou f(t) se comporte
(generalement) comme une parabole. Comme f' (t0 ) = 0, le developpement de Taylor
donne
f(t) = f(to) + l/2!(t-to)2f"(to) + ...
Portons dans l'integrale les deux premiers termes, il vient
J ~ e- to
e--2,- to dt,
f( )
J
(t-10)2!"( )
ouf"(t0 ) > 0. Soit, avec l'aide de l'Eq. 13.1
2,r
f"(to)
(13.6)
Remarque : Ce qui precede donne seulement une vision intuitive de la methode. Les
demonstrations mathematiques correspondantes ne sont pas simples et font appel a
des series asymptotiques qui sont en general divergentes mais dont les premiers termes
donnent souvent une excellente approximation.
13.3 Formule de Stirling
C'est une approximation den! d'autant meilleure que nest grand. On peut la deriver
par la methode du col. On part de (13.3) pour l'ecriture de f(x+ 1). La fonctionf(t)
est alors
f(t) = t-xlogt
1 Ce qui fournit, en passant, Jes formules de Wallis donnant l'integrale de cos 111 Bsin" e entre O et Jr /2.