CHAPITRE 13
Appendice Mathematique
13.1 Fonctions d'Euler r(x) et B(p, q)
Cette integrale joue un role permanent en meeanique statistique :
I = J e-rrx2 dx = 1.
Demonstration. On ealcule 1 2 par une integrale double en eartesiennes, puis on passe
en polaires.
Done:
(13.1)
On definit pour x > O
(13.2)
Clairement
r(l) = 1 et f(l/2) = -yn,
et par integration par parties
r(x+ 1) = xr(x).
Done
n!=r(n+l).
(13.3)
Les fonetions B(p, q) sont ainsi definies
B(p,q)= fo
1 tP- 1 (1-t)q-ldt p>O,q>O
(13.4)
Manifestement
B(p,q) = B(q,p).
On montre aussi que
B( , ) = r(p )r(q)
p q
r(p+q)
(13.5)