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CHAPITRE 12. LE NEZ DANS LES ETOILES
ou Xp = 1ikp/(mc).
En effet, I' energie se calcule par integration clans la sphere de Fermi, en tenant
compte d'un facteur de degenerescence de spin egal a 2 :
E = - -
4rrk 2 dk V1i 2 k2c 2 + m 2 c4
2V lt:F
e
(2rr1i) 3 o
'
ce qui conduit au resultat propose.
L'integrale 12.4 se calcule analytiquement. Le resultat est le suivant:
LxF x 2 dxVl +x 2 = Hxp ~l +xi(l + 2xi)-log(xp + ~l +xi)].
A l'aide d'un developpement clans la limite Xp >> 1 (limite relativiste), l'energie des
electrons s' ecrit :
Ee=::~ (31r 2 p(
3 [ 1 + m;t ( 3 :2p r/
3
],
(12.5)
ou on a tenu compte de la relation ki = 3rr 2 p. L'energie totale Ede l'etoile s'ecrit
comme la somme de l'energie des electrons et de l'energie gravitationnelle des ions
(a temperature nulle, l'energie cinetique des ions est nulle). On rappelle que l'energie
gravitationnelle d'une sphere homogene de masse M et de rayon R a pour expression :
3GM 2
Ee=----.
5 R
Exercice 12.10. [Calcul de l'energie de l'etoile.] Montrer a l'aide de l'Eq. 12.5 que,
pour une masse donnee M, l'energie de l'etoile a la forme suivante:
a:M2 {3M4f3
E = --- + - - + yM 2 / 3 R
R
R
'
ou le premier terme provient de l'energie gravitationnelle et les deux autres termes
de I' energie des electrons. Donner I' expression des coefficients a,{3 et y.
Exercice 12.11. [ Calcul du rayon de I' etoile.] Ecrire l' equation qui determine la
valeur du rayon Rm pour lequel E est minimum. Montrer que cette equation n'a
de solution que si la masse de l'etoile est inferieure a une valeur limite Mc dont on
donnera l'expressiori. Calculer le rayon d'equilibre pour M < Mc.
Validation des hypotheses faites
On se place clans le cas d'une etoile de masse egale a celle du Soleil, dont la temperature
en fin de nucleosynthese de !'helium est de I' ordre de 10 7 K.