12.4 NAINES BLANCHES
127
phase d'equilibre hydrostatique de l'etoile. Lorsque l'hydrogene a ete brule, !'emission
de lumiere ne peut prendre sa source que clans I' energie gravitationnelle, et I' etoile
se contracte a nouveau. Le sort ulterieur de l'etoile depend de sa masse. Lorsque
cette masse est de l'ordre de celle du Soleil, !'augmentation de temperature qui
accompagne la contraction n'est pas suffisante pour que s'enclenchent des reactions
thermonucleaires de fusion des noyaux d'helium-4 formes clans la premiere phase de
Ia vie de l'etoile: la barriere coulombienne est trap grande. On peut montrer (mais
nous ne l'aborderons pas ici) que lors de la contraction, la temperature passe par un
maximum puis diminue. L'etoile vase refroidir petit a petit. L'energie des electrons
augmente avec la densite. La pression que ce gaz quantique est susceptible d'exercer
augmente egalement, et vient un moment ou cette pression est capable de compenser
la pression gravitationnelle: il s'agit de la phase naine blanche. Mais ceci n'est possible
que si la masse de l'etoile ne depasse pas une limite, appelee masse de Chandrasekhar.
L'existence de cette limite, on va le voir, est due a ce que les electrons deviennent
relativistes.
Le but de l'exercice est de calculer cette limite, clans un modele simple. L'approximation essentielle du modele consiste a considerer que les grandeurs physiques sont
uniformes clans tout le volume de l'etoile.
On se place a temperature nulle, condition qui sera justifiee a la fin de I' exercice
par la coherence des resultats obtenus. On designe par R le rayon de l'etoile, et par M
sa masse.
Exercice 12.9. [Calcul de la densite d'electron.J On admet que l'etoile est constituee
entierement de noyaux d'helium-4 et d'electrons. Determiner !'expression de la
densite electronique p (nombre d'electrons par unite de volume), et celle de leur
moment de Fermi kp.
Note : on remarquera que la masse de I' etoile est determinee essentiellement par
celle des noyaux, les electrons y contribuant de fa<;:on negligeable.
Puisqu'il faut traiter le cas ou les electrons deviennent relativistes, on utilisera
d'emblee les expressions correspondantes entre energie et moment. Dans ces conditions
I' energie de Fermi est definie par :
Ep = ~n 2 k~c 2 + m 2 c 4 -mc 2 •
L'energie totale des electrons, Ee (incluant leur energie de masse), est donnee par
!'expression (V = volume de l'etoile) :
Vm4cs lxF
Ee= - 2 - 3 -
x 2 dx-YI +x 2 ,
rr ti
o
(12.4)
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phase d'equilibre hydrostatique de l'etoile. Lorsque l'hydrogene a ete brule, !'emission
de lumiere ne peut prendre sa source que clans I' energie gravitationnelle, et I' etoile
se contracte a nouveau. Le sort ulterieur de l'etoile depend de sa masse. Lorsque
cette masse est de l'ordre de celle du Soleil, !'augmentation de temperature qui
accompagne la contraction n'est pas suffisante pour que s'enclenchent des reactions
thermonucleaires de fusion des noyaux d'helium-4 formes clans la premiere phase de
Ia vie de l'etoile: la barriere coulombienne est trap grande. On peut montrer (mais
nous ne l'aborderons pas ici) que lors de la contraction, la temperature passe par un
maximum puis diminue. L'etoile vase refroidir petit a petit. L'energie des electrons
augmente avec la densite. La pression que ce gaz quantique est susceptible d'exercer
augmente egalement, et vient un moment ou cette pression est capable de compenser
la pression gravitationnelle: il s'agit de la phase naine blanche. Mais ceci n'est possible
que si la masse de l'etoile ne depasse pas une limite, appelee masse de Chandrasekhar.
L'existence de cette limite, on va le voir, est due a ce que les electrons deviennent
relativistes.
Le but de l'exercice est de calculer cette limite, clans un modele simple. L'approximation essentielle du modele consiste a considerer que les grandeurs physiques sont
uniformes clans tout le volume de l'etoile.
On se place a temperature nulle, condition qui sera justifiee a la fin de I' exercice
par la coherence des resultats obtenus. On designe par R le rayon de l'etoile, et par M
sa masse.
Exercice 12.9. [Calcul de la densite d'electron.J On admet que l'etoile est constituee
entierement de noyaux d'helium-4 et d'electrons. Determiner !'expression de la
densite electronique p (nombre d'electrons par unite de volume), et celle de leur
moment de Fermi kp.
Note : on remarquera que la masse de I' etoile est determinee essentiellement par
celle des noyaux, les electrons y contribuant de fa<;:on negligeable.
Puisqu'il faut traiter le cas ou les electrons deviennent relativistes, on utilisera
d'emblee les expressions correspondantes entre energie et moment. Dans ces conditions
I' energie de Fermi est definie par :
Ep = ~n 2 k~c 2 + m 2 c 4 -mc 2 •
L'energie totale des electrons, Ee (incluant leur energie de masse), est donnee par
!'expression (V = volume de l'etoile) :
Vm4cs lxF
Ee= - 2 - 3 -
x 2 dx-YI +x 2 ,
rr ti
o
(12.4)