12.3 NUCLEOSYNTHESE STELLAIRE: PIC DE GAMOW
125
Exercice 12.5. [AD] [Calcul du facteur de Gamow.] En considerant la barriere
coulombienne comme une succession de barrieres elementaires de hauteur variable,
montrer que le facteur g se generalise en une integrale.
1. Ecrire et calculer cette integrale. On designera par VB la valeur maximum de
la barriere: VB= Z 1Z2e 2 /r*.
2. Montrer que, compte tenu des ordres de grandeur des valeurs de E et de VB,
!'expression de G peut se mettre sous la forme:
II. Section efficace de collision
2µ,r2 z2 z2 e4
1 2
avec EB=
n 2
(12.3)
Pour des objets regis par la mecanique classique, la section efficace de collision est
proportionnelle a leur section droite : s'ils sont compacts, de dimension caracteristique
R, la section efficace sera en R 2 • lei, les noyaux sont des objets quantiques, et il convient
de comparer leur longueur d'onde de de Broglie a leur taille. Montrons que, aux
temperatures considerees ici, la longueur d'onde de de Broglie est tres superieure a la
taille des noyaux. On en deduira que l'on peut ecrire la section efficace de collision
sous la forme :
S(E)
cr=T,
ou S(E) est une fonction qui incorpore l'effet de !'interaction nucleaire; elle doit etre,
hors phenomenes de resonance, une fonction lentement variable de l'energie.
En effet, la longueur de de Broglie d'une particule de masse m et d'energie E
est donnee par la relation tl = h/p = -,J4rr 2 n 2 /2mE. Nous avons vu que les energies
cinetiques clans le Soleil sont de l'ordre du keV. La longueur d'onde associee est done
superieure a 1000 fm, c'est-a-dire bien plus grande que la taille d'un noyau. C'est done
elle qui determine la section efficace. Lors d'une collision, le mouvement relatif des
noyaux est decrit par une fonction d'onde dont !'extension spatiale est de l'ordre de
la longueur d'onde associee, et la section efficace de collision sera proportionnelle au
carre tl 2 , done en 1/E. On pourra done bien ecrire er= S(E)/E.
III. Taux de collisions
Lorsqu'un faisceau de particules est envoye sur une cible, la section efficace de
reaction est definie par :
nombre de collisions par centre et par unite de temps
c r = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
nombre de particules incidentes par unite de surface et unite de temps·
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Exercice 12.5. [AD] [Calcul du facteur de Gamow.] En considerant la barriere
coulombienne comme une succession de barrieres elementaires de hauteur variable,
montrer que le facteur g se generalise en une integrale.
1. Ecrire et calculer cette integrale. On designera par VB la valeur maximum de
la barriere: VB= Z 1Z2e 2 /r*.
2. Montrer que, compte tenu des ordres de grandeur des valeurs de E et de VB,
!'expression de G peut se mettre sous la forme:
II. Section efficace de collision
2µ,r2 z2 z2 e4
1 2
avec EB=
n 2
(12.3)
Pour des objets regis par la mecanique classique, la section efficace de collision est
proportionnelle a leur section droite : s'ils sont compacts, de dimension caracteristique
R, la section efficace sera en R 2 • lei, les noyaux sont des objets quantiques, et il convient
de comparer leur longueur d'onde de de Broglie a leur taille. Montrons que, aux
temperatures considerees ici, la longueur d'onde de de Broglie est tres superieure a la
taille des noyaux. On en deduira que l'on peut ecrire la section efficace de collision
sous la forme :
S(E)
cr=T,
ou S(E) est une fonction qui incorpore l'effet de !'interaction nucleaire; elle doit etre,
hors phenomenes de resonance, une fonction lentement variable de l'energie.
En effet, la longueur de de Broglie d'une particule de masse m et d'energie E
est donnee par la relation tl = h/p = -,J4rr 2 n 2 /2mE. Nous avons vu que les energies
cinetiques clans le Soleil sont de l'ordre du keV. La longueur d'onde associee est done
superieure a 1000 fm, c'est-a-dire bien plus grande que la taille d'un noyau. C'est done
elle qui determine la section efficace. Lors d'une collision, le mouvement relatif des
noyaux est decrit par une fonction d'onde dont !'extension spatiale est de l'ordre de
la longueur d'onde associee, et la section efficace de collision sera proportionnelle au
carre tl 2 , done en 1/E. On pourra done bien ecrire er= S(E)/E.
III. Taux de collisions
Lorsqu'un faisceau de particules est envoye sur une cible, la section efficace de
reaction est definie par :
nombre de collisions par centre et par unite de temps
c r = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
nombre de particules incidentes par unite de surface et unite de temps·