11.6 UN PEU DE LUMIERE SUR LE RAYONNEMENT FOSSILE
107
Exercice 11.8. [DJ [Gaz de Bose a 2 dimensions]
1. On considere un ensemble de N bosons de masse m confines clans une boite
a deux dimensions de surface S.
(a) Donner, sous forme d'une integrale, !'expression de N en fonction du
potentiel chimique µ. On posera z = e-/Jµ.
(b) L'integrale obtenue est analytique, ce qui perm et d' exp rimer N en fonction de z. Montrer graphiquement qu'a chaque valeur de N correspond
une valeur de z, done deµ, bien definie. En deduire que la condensation
de Bose-Einstein n' a pas lieu.
2. Ces N bosons sont maintenant pieges clans un potentiel harmonique a deux
dimensions :
1 '\' 22
Vext = -m L..i wi ri.
2 .
1=1,2
Montrer, en calquant le raisonnement sur le cas a trois dimensions, que la
condensation a lieu pour une temperature critique donnee par :
2 k2y2
N= 1!.___b_c_
6 (1iw) 2 '
ou w designe la moyenne geometrique des pulsations w 1 et w2•
11.6 Un peu de lumiere sur le rayonnement fossile
Exercice 11.9. [AD] [Rayonnement fossile] On considere un gaz de photons a
la temperature T, contenu clans une boite cubique d'arete L. On rappelle qu'un
photons de nombre d'onde k et de pulsation w a une energie 1ikc = 1iw = lplc, et
que les photons ant deux eta ts de polarisation possibles. On posera f3 = 1 / kb T.
1. Rappeler pourquoi le potentiel chimique d'un gaz de photon a l'equilibre
thermique est nul.
2. Ecrire la densite d' eta tsp( w) comme fonction de w, L et c.
On designe par dN(L,w) le nombre de photons contenus clans la boite, dont
la pulsation est comprise entre w et w + dw. Montrer que I' on a al ors
L 3 w 2 dw
dN(L,w) = - 2 3 ef3ti
.
7r C
IW_ l
(11.8)
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Exercice 11.8. [DJ [Gaz de Bose a 2 dimensions]
1. On considere un ensemble de N bosons de masse m confines clans une boite
a deux dimensions de surface S.
(a) Donner, sous forme d'une integrale, !'expression de N en fonction du
potentiel chimique µ. On posera z = e-/Jµ.
(b) L'integrale obtenue est analytique, ce qui perm et d' exp rimer N en fonction de z. Montrer graphiquement qu'a chaque valeur de N correspond
une valeur de z, done deµ, bien definie. En deduire que la condensation
de Bose-Einstein n' a pas lieu.
2. Ces N bosons sont maintenant pieges clans un potentiel harmonique a deux
dimensions :
1 '\' 22
Vext = -m L..i wi ri.
2 .
1=1,2
Montrer, en calquant le raisonnement sur le cas a trois dimensions, que la
condensation a lieu pour une temperature critique donnee par :
2 k2y2
N= 1!.___b_c_
6 (1iw) 2 '
ou w designe la moyenne geometrique des pulsations w 1 et w2•
11.6 Un peu de lumiere sur le rayonnement fossile
Exercice 11.9. [AD] [Rayonnement fossile] On considere un gaz de photons a
la temperature T, contenu clans une boite cubique d'arete L. On rappelle qu'un
photons de nombre d'onde k et de pulsation w a une energie 1ikc = 1iw = lplc, et
que les photons ant deux eta ts de polarisation possibles. On posera f3 = 1 / kb T.
1. Rappeler pourquoi le potentiel chimique d'un gaz de photon a l'equilibre
thermique est nul.
2. Ecrire la densite d' eta tsp( w) comme fonction de w, L et c.
On designe par dN(L,w) le nombre de photons contenus clans la boite, dont
la pulsation est comprise entre w et w + dw. Montrer que I' on a al ors
L 3 w 2 dw
dN(L,w) = - 2 3 ef3ti
.
7r C
IW_ l
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