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CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
ou ,l designe le multiplicateur de Lagrange associe a la contrainte de normalisation de la fonction ¢. On pourra se limiter au cas ou ¢ est reel. Cette
equation a ete proposee en 1959 par Eugene P. Gross et Lev Pitaevskii clans le
cadre de la physique de l'helium superfluide.
Montrer que ,l s'identifie au potentiel chimique du condensat µ.
Lorsqu'on coupe le potentiel de piegeage, l'energie cinetique d'expansion du
gaz a deux origines: l'energie cinetique de localisation quantique, associee a
la taille du condensat et deja consideree clans le cas du gaz parfait, et l'energie
potentielle liee aux interactions repulsives entre atomes, Eint· La premiere
est proportionnelle a N, la seconde, comme on va le voir, a une puissance
de N plus grande que un. Pour un condensat comportant un grand nombre
d'atomes, c'est done le terme d'interaction qui domine.
Pour evaluer ce terme, on peut partir de l'approximation de¢ obtenue en
negligeant le terme cinetique clans l'equation GP (approximation
2. Montrer que, clans cette approximation, la densite volumique du gaz p(r) =
Nl¢(r)l 2 s'ecrit:
p(r)=f::..(1- I rt]
g
i=t,2,3 Ri
ou R; s'exprime en fonction deµ, met w;.
r;
avec - < l,
R;
3. Quelle est la forme geometrique du condensat?
4. Determiner la relation entre N etµ. On pourra effectuer le changement de
variables:
r;
u;=-.
R;
5. Determiner l'expression de l'energie d'interaction par atome en fonction de
µ, puis en fonction de N. Comparer cette dependance a celle extraite des
donnees experimentales. Conclusion?
I 1.5 Gaz de Bose a deux dimensions
Dans une boite a deux dimensions, la condensation de Bose-Einstein n'a pas lieu. En
revanche, clans un piege harmonique a deux dimensions, elle a bien lieu. C'est ainsi que
la transition de Kosterlitz-Thouless, c'est-a-dire l'apparition de la superfluidite, a pu
etre observee en 2006 avec des condensats d'atomes froids clans des pieges harmoniques
bi-dimensionnels.
CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
ou ,l designe le multiplicateur de Lagrange associe a la contrainte de normalisation de la fonction ¢. On pourra se limiter au cas ou ¢ est reel. Cette
equation a ete proposee en 1959 par Eugene P. Gross et Lev Pitaevskii clans le
cadre de la physique de l'helium superfluide.
Montrer que ,l s'identifie au potentiel chimique du condensat µ.
Lorsqu'on coupe le potentiel de piegeage, l'energie cinetique d'expansion du
gaz a deux origines: l'energie cinetique de localisation quantique, associee a
la taille du condensat et deja consideree clans le cas du gaz parfait, et l'energie
potentielle liee aux interactions repulsives entre atomes, Eint· La premiere
est proportionnelle a N, la seconde, comme on va le voir, a une puissance
de N plus grande que un. Pour un condensat comportant un grand nombre
d'atomes, c'est done le terme d'interaction qui domine.
Pour evaluer ce terme, on peut partir de l'approximation de¢ obtenue en
negligeant le terme cinetique clans l'equation GP (approximation
2. Montrer que, clans cette approximation, la densite volumique du gaz p(r) =
Nl¢(r)l 2 s'ecrit:
p(r)=f::..(1- I rt]
g
i=t,2,3 Ri
ou R; s'exprime en fonction deµ, met w;.
r;
avec - < l,
R;
3. Quelle est la forme geometrique du condensat?
4. Determiner la relation entre N etµ. On pourra effectuer le changement de
variables:
r;
u;=-.
R;
5. Determiner l'expression de l'energie d'interaction par atome en fonction de
µ, puis en fonction de N. Comparer cette dependance a celle extraite des
donnees experimentales. Conclusion?
I 1.5 Gaz de Bose a deux dimensions
Dans une boite a deux dimensions, la condensation de Bose-Einstein n'a pas lieu. En
revanche, clans un piege harmonique a deux dimensions, elle a bien lieu. C'est ainsi que
la transition de Kosterlitz-Thouless, c'est-a-dire l'apparition de la superfluidite, a pu
etre observee en 2006 avec des condensats d'atomes froids clans des pieges harmoniques
bi-dimensionnels.