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CHAPITRE I I. FLUIDES QUANTIQUES
3. L'expansion de l'Univers induit une dilatation de toutes les distances. On
admettra qu'il en est de meme des longueurs d' onde. Ainsi, on a une loi
d'echelle avec L - L' = aL (a > O), et les longueurs d'onde evoluant
suivant la meme loi, on aw - w' = w/a. Comme le nombre de photons
se conserve avec la dilatation, le nombre dN(L, w) est egal au nombre de
photons contenus clans la boite de cote L' avec une pulsation comprise entre
w' et w' + dw' ( dN ne change pas lors de la dilatation car il n'y a plus de
creation ou d'absorption des photons par la matiere). La vitesse de la lumiere
reste egalement constante. Montrer alors que dN(L',w') obeit toujours a la
loi (11.8) avec une temperature T' = TI a.
On peut done considerer (ce que !'on fera desormais) que le rayonnement,
bien qu'isole, evolue en restant clans des conditions d'equilibre thermique,
avec une temperature qui decroit.
4. Donner !'expression de la chaleur specifique a volume constant du gaz de
photon Cv = dE/dT, puis celle de l'entropie du gaz, a partir de la relation
dS= Cv dT/T.
On rappelle que
~ = h = ~ (voir l'appendice mathematique).
l
oo 3 d
4
o eX-1
15
5. En deduire que l'entropie du gaz demeure constante lors de !'expansion.
6. On designe par u(w) l'energie par unite de volume et par unite de pulsation
du gaz de photon.
Donner l'allure du graphe de la fonction u(w) a une temperature donnee.
Determiner !'equation qui donne, sous forme implicite, la valeur Wm dew
correspondant au maximum de u(w).
7. La solution de I' equation implicite e- 0 = 1 - o /3 est o ~ 2, 82 .... Donner
!'expression de Wm en fonction de kbT et o.
8. Le spectre de ce rayonnement est tres bien connu experimentalement. Les
mesures donnent Wm= 1,01 x 10 12 Hz. En deduire la temperature actuelle
du rayonnement fossile.
On donne kb = 1, 38 x 10- 23 J.K- 1 et 1i = 1, 05 x 10- 34 J.s.
9. Le volume de l'Univers varie comme t 2 , ou t designe le temps ecoule depuis
le Big bang (estime a 15 milliards d'annees). Sachant que le decouplage de la
matiere et du rayonnement a eu lieu lorsque la temperature etait de l' ordre
de 3 000 K, calculer !'age de l'Univers au moment de ce decouplage.
CHAPITRE I I. FLUIDES QUANTIQUES
3. L'expansion de l'Univers induit une dilatation de toutes les distances. On
admettra qu'il en est de meme des longueurs d' onde. Ainsi, on a une loi
d'echelle avec L - L' = aL (a > O), et les longueurs d'onde evoluant
suivant la meme loi, on aw - w' = w/a. Comme le nombre de photons
se conserve avec la dilatation, le nombre dN(L, w) est egal au nombre de
photons contenus clans la boite de cote L' avec une pulsation comprise entre
w' et w' + dw' ( dN ne change pas lors de la dilatation car il n'y a plus de
creation ou d'absorption des photons par la matiere). La vitesse de la lumiere
reste egalement constante. Montrer alors que dN(L',w') obeit toujours a la
loi (11.8) avec une temperature T' = TI a.
On peut done considerer (ce que !'on fera desormais) que le rayonnement,
bien qu'isole, evolue en restant clans des conditions d'equilibre thermique,
avec une temperature qui decroit.
4. Donner !'expression de la chaleur specifique a volume constant du gaz de
photon Cv = dE/dT, puis celle de l'entropie du gaz, a partir de la relation
dS= Cv dT/T.
On rappelle que
~ = h = ~ (voir l'appendice mathematique).
l
oo 3 d
4
o eX-1
15
5. En deduire que l'entropie du gaz demeure constante lors de !'expansion.
6. On designe par u(w) l'energie par unite de volume et par unite de pulsation
du gaz de photon.
Donner l'allure du graphe de la fonction u(w) a une temperature donnee.
Determiner !'equation qui donne, sous forme implicite, la valeur Wm dew
correspondant au maximum de u(w).
7. La solution de I' equation implicite e- 0 = 1 - o /3 est o ~ 2, 82 .... Donner
!'expression de Wm en fonction de kbT et o.
8. Le spectre de ce rayonnement est tres bien connu experimentalement. Les
mesures donnent Wm= 1,01 x 10 12 Hz. En deduire la temperature actuelle
du rayonnement fossile.
On donne kb = 1, 38 x 10- 23 J.K- 1 et 1i = 1, 05 x 10- 34 J.s.
9. Le volume de l'Univers varie comme t 2 , ou t designe le temps ecoule depuis
le Big bang (estime a 15 milliards d'annees). Sachant que le decouplage de la
matiere et du rayonnement a eu lieu lorsque la temperature etait de l' ordre
de 3 000 K, calculer !'age de l'Univers au moment de ce decouplage.