11.4 CONDENSATION DE BOSE-EINSTEIN
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effectues clans les techniques de refroidissement 3 permettent depuis 1995 d'obtenir
des condensats de Bose-Einstein atomiques gazeux clans des potentiels harmoniques
anisotropes. Dans l'exercice qui suit, nous analysons le phenomene de condensation
clans un tel environnement. Les donnees experimentales permettent de plus de mettre
en evidence des effets d'interaction entre atomes clans la phase condensee. L'equation
de Gross-Pitaevskii (GP) fournit un outil a la fois simple et precis pour aller au-dela
du modele du gaz parfait et tenir compte de ces effets. Il s'agit d'un domaine tres actif
de la physique.
Exercice 11.7. [DJ [Condensation de Bose-Einstein d'atomes froids] On considere
un gaz de particules materielles bosoniques indiscernables non relativistes clans un
potentiel de piegeage harmonique anisotrope :
1
'"'
2
Vext = -m LJ w;r;.
2 .
1=1,2,3
Le gaz est a l'equilibre thermodynamique, et l'on se place clans l'ensemble grandcanonique pour le decrire. On designera par T la temperature etµ le potentiel
chimique.
I. Cas du gaz parfait
Dans un premier temps, on neglige toute interaction entre les particules.
1. Rappeler l'expression des energies des etats accessibles.
2. Donner, sous la forme d'une somme discrete, l'expression du nombre N' de
particules clans les eta ts excites, c' est-a-dire en dehors de l' etat fondamental
du piege qu' on prendra comme origine des energies. Montrer que N' est
majore par l'expression obtenue en fixant le potentiel chimique a 0, soit N;nax·
3. Que se passe-t-il lorsque N devient plus grand que N;,zax?
4. Dans la limite kb T > > nw;, on peut calculer approximativement N;nax en
remplai;:ant les sommes discretes sur les nombres quantiques par des integrales.
(a) Exprimer le resultat en fonction de T et dew, moyenne geometrique
des trois pulsations.
3 !ls ont valu a Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji et William D. Phillips le prix Nobel de physique en
1997.
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effectues clans les techniques de refroidissement 3 permettent depuis 1995 d'obtenir
des condensats de Bose-Einstein atomiques gazeux clans des potentiels harmoniques
anisotropes. Dans l'exercice qui suit, nous analysons le phenomene de condensation
clans un tel environnement. Les donnees experimentales permettent de plus de mettre
en evidence des effets d'interaction entre atomes clans la phase condensee. L'equation
de Gross-Pitaevskii (GP) fournit un outil a la fois simple et precis pour aller au-dela
du modele du gaz parfait et tenir compte de ces effets. Il s'agit d'un domaine tres actif
de la physique.
Exercice 11.7. [DJ [Condensation de Bose-Einstein d'atomes froids] On considere
un gaz de particules materielles bosoniques indiscernables non relativistes clans un
potentiel de piegeage harmonique anisotrope :
1
'"'
2
Vext = -m LJ w;r;.
2 .
1=1,2,3
Le gaz est a l'equilibre thermodynamique, et l'on se place clans l'ensemble grandcanonique pour le decrire. On designera par T la temperature etµ le potentiel
chimique.
I. Cas du gaz parfait
Dans un premier temps, on neglige toute interaction entre les particules.
1. Rappeler l'expression des energies des etats accessibles.
2. Donner, sous la forme d'une somme discrete, l'expression du nombre N' de
particules clans les eta ts excites, c' est-a-dire en dehors de l' etat fondamental
du piege qu' on prendra comme origine des energies. Montrer que N' est
majore par l'expression obtenue en fixant le potentiel chimique a 0, soit N;nax·
3. Que se passe-t-il lorsque N devient plus grand que N;,zax?
4. Dans la limite kb T > > nw;, on peut calculer approximativement N;nax en
remplai;:ant les sommes discretes sur les nombres quantiques par des integrales.
(a) Exprimer le resultat en fonction de T et dew, moyenne geometrique
des trois pulsations.
3 !ls ont valu a Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji et William D. Phillips le prix Nobel de physique en
1997.