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CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
1. En deduire que pour des fermions sans interaction
S =-k .L [n; log n; + (1-n;) log(l-n;)],
(11.5)
OU
1
n·=---1
1 + d3(E;-µ)'
(11.6)
2. Inversement, la coherence de la physique statistique et de la thermodynamique macroscopique peut se verifier en prenant l'Eq. 11.5 comme definition
de l' entropie d'un ensemble de fermions. Montrer que la maximisation de S,
sous contrainte d'une energie et d'un nombre de particules fixe en moyenne,
conduit bien a la distribution de Fermi-Dirac pour les nombres d'occupation.
3. Ecrire les relations implicites qui lient le potentiel chimique et l'energie d'un
gaz parfait de fermions a sa temperature.
4. Deduire la relation :
SE µN
S=---3T T'
(11.7)
5. On se place desormais a basse temperature. A l'aide du lemme de Sommerfeld,
donner les developpements au second ordre du potentiel chimique et de
l' energie du gaz.
6. Determiner l'expression de la chaleur specifique a volume constant en fonc. d 1 d . 'd .
'
. 1 'l''
. d F
· d( ) dN
t10n e a ens1te e mveaux a une partlcu e a energ1e e erm1 Ep = -d •
Ep
7. En deduire les developpements a basse temperature de l'entropie du gaz, de
son energie et de son energie libre. Verifier que l' on obtient le meme resultat,
pour l' entropie, en partant de la relation etablie a la deuxieme question.
8. En deduire egalement l'expression de la densite d'etats a N particules.
I 1.2.2 Deux dimensions
Exercice 11.5. [PD] Un ensemble de fermions identiques sans interaction sont
confines clans une boite de dimension 2, a la temperature T.
1. Determiner la densite de particules, et montrer que le potentiel chimique est
independant de la temperature. Donner l'expression de la densite de niveaux
individuels a l' energie de Fermi.
CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
1. En deduire que pour des fermions sans interaction
S =-k .L [n; log n; + (1-n;) log(l-n;)],
(11.5)
OU
1
n·=---1
1 + d3(E;-µ)'
(11.6)
2. Inversement, la coherence de la physique statistique et de la thermodynamique macroscopique peut se verifier en prenant l'Eq. 11.5 comme definition
de l' entropie d'un ensemble de fermions. Montrer que la maximisation de S,
sous contrainte d'une energie et d'un nombre de particules fixe en moyenne,
conduit bien a la distribution de Fermi-Dirac pour les nombres d'occupation.
3. Ecrire les relations implicites qui lient le potentiel chimique et l'energie d'un
gaz parfait de fermions a sa temperature.
4. Deduire la relation :
SE µN
S=---3T T'
(11.7)
5. On se place desormais a basse temperature. A l'aide du lemme de Sommerfeld,
donner les developpements au second ordre du potentiel chimique et de
l' energie du gaz.
6. Determiner l'expression de la chaleur specifique a volume constant en fonc. d 1 d . 'd .
'
. 1 'l''
. d F
· d( ) dN
t10n e a ens1te e mveaux a une partlcu e a energ1e e erm1 Ep = -d •
Ep
7. En deduire les developpements a basse temperature de l'entropie du gaz, de
son energie et de son energie libre. Verifier que l' on obtient le meme resultat,
pour l' entropie, en partant de la relation etablie a la deuxieme question.
8. En deduire egalement l'expression de la densite d'etats a N particules.
I 1.2.2 Deux dimensions
Exercice 11.5. [PD] Un ensemble de fermions identiques sans interaction sont
confines clans une boite de dimension 2, a la temperature T.
1. Determiner la densite de particules, et montrer que le potentiel chimique est
independant de la temperature. Donner l'expression de la densite de niveaux
individuels a l' energie de Fermi.