11.2 GAZ DE FERMI A TEMPERATURE FINIE
99
4. On posera kp = rrN, moment de Fermi qui correspond a l'energie de la
a
derniere particule ajoutee a la boite. On posera K = fi. Donner les developpements de fN(ak) pour K « 1 et K » 1.
1
5. En remarquant que Jt(x) = ·;/~ (x), ecrire les developpements de n(K) clans
les deux cas limites. Commenter ces resultats.
11.2 Gaz de Fermi a temperature finie
Nous avons anticipe, a la fin de l' exercice sur le gaz de Fermi a temperature nulle,
que la thermodynamique de basse temperature devait etre gouvernee par la densite de
niveaux individuels a l'energie de Fermi.
Le but de ce qui suit permet de montrer qu'il en est bien ainsi, et de mettre l'accent
sur les effets de dimensionalite : la densite de niveaux ne se comporte pas de la meme
fayon, en fonction de l'energie, a deux et a trois dimensions. Cela a des consequences
qualitatives surprenantes ... et mesurables.
Pour illustrer la pertinence des resultats obtenus ici, nous analyserons les donnees
empiriques relatives a deux systemes physiques : les resonances de neutrons clans les
noyaux atomiques, comme exemple de systeme a 3 dimensions; les etats de surface
de l'helium-3 a la surface de l'helium-4 liquide, comme exemple de systeme a deux
dimensions.
Mais clans un premier temps, nous allons etablir une expression utile de l'entropie
en fonction des nombres d'occupation, et determiner les proprietes thermodynamiques
a basse temperature.
11.2.1 Trois dimensions
Exercice ll.4. [AD] [Gaz parfait de fermions] On rappelle que clans !'ensemble
grand-canonique, le grand potentiel, ou potentiel de Gibbs, s'ecrit
avec
Zg = IT; [ 1 + !(µ-€;)],
et que l'entropie est definie comme
an
S=-- ar·
( 11.3)
(11.4)
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4. On posera kp = rrN, moment de Fermi qui correspond a l'energie de la
a
derniere particule ajoutee a la boite. On posera K = fi. Donner les developpements de fN(ak) pour K « 1 et K » 1.
1
5. En remarquant que Jt(x) = ·;/~ (x), ecrire les developpements de n(K) clans
les deux cas limites. Commenter ces resultats.
11.2 Gaz de Fermi a temperature finie
Nous avons anticipe, a la fin de l' exercice sur le gaz de Fermi a temperature nulle,
que la thermodynamique de basse temperature devait etre gouvernee par la densite de
niveaux individuels a l'energie de Fermi.
Le but de ce qui suit permet de montrer qu'il en est bien ainsi, et de mettre l'accent
sur les effets de dimensionalite : la densite de niveaux ne se comporte pas de la meme
fayon, en fonction de l'energie, a deux et a trois dimensions. Cela a des consequences
qualitatives surprenantes ... et mesurables.
Pour illustrer la pertinence des resultats obtenus ici, nous analyserons les donnees
empiriques relatives a deux systemes physiques : les resonances de neutrons clans les
noyaux atomiques, comme exemple de systeme a 3 dimensions; les etats de surface
de l'helium-3 a la surface de l'helium-4 liquide, comme exemple de systeme a deux
dimensions.
Mais clans un premier temps, nous allons etablir une expression utile de l'entropie
en fonction des nombres d'occupation, et determiner les proprietes thermodynamiques
a basse temperature.
11.2.1 Trois dimensions
Exercice ll.4. [AD] [Gaz parfait de fermions] On rappelle que clans !'ensemble
grand-canonique, le grand potentiel, ou potentiel de Gibbs, s'ecrit
avec
Zg = IT; [ 1 + !(µ-€;)],
et que l'entropie est definie comme
an
S=-- ar·
( 11.3)
(11.4)