11. I GAZ DE FERMI A TEMPERATURE NULLE
2. En utilisant Jes identites
sin 2 x = ~ [ 1 - cos 2x],
2
1
COS 2 X = - [ 1 + COS 2X),
2
97
donner !'expression de la partie non fluctuante de p(x,y,z) et de r(x,y,z),
soit respectivement p et T.
3. En rempla<;:ant Jes sommes discretes sur Jes nombres quantiques par des
integrales clans l'espace des moments, montrer que l'on a:
p = _f_k 3 et T = ~pep,
6JT2 F
5
n2
ou ep = -k} designe l'energie de Fermi, c'est-a-dire l'energie maximum des
2m
etats occupes; kp est le moment de Fermi correspondant.
4. On peut retrouver Jes expressions ci-dessus en partant des fonctions d'onde
obtenues en imposant des conditions periodiques aux limites de la boite.
Montrer qu'on obtient bien, pour la densite et la densite d'energie du systeme,
Jes memes relations que precedemment.
5. Determiner !'expression de la pression qui regne au sein de la boite.
6. Calculer le moment de Fermi des electrons clans un metal, et des nucleons
clans la matiere nucleaire.
On rappelle que la densite du cuivre est de 8,9 et que sa masse atomique est
environ 64. En moyenne, un electron par atome participe a la conduction
electrique.
On rappelle egalement que la densite de la matiere nucleaire est d'environ
2, 7 x 10 14 g.cm- 3 , et que I' energie de masse d'un nucleon est d' environ 940
MeV.
7. Decrire qualitativement, en terme d'occupation des etats individuels, un etat
excite du systeme. On introduira la densite de niveaux individuels a l'energie
de Fermi:
··
dN'
d(ep) = - de E=Ep
(11.1)
On va etudier Jes effets de taille finie clans la distribution de matiere et de vitesse
pour un gaz parfait clans le cas le plus simple: celui d'un gaz parfait de fermions a ld
et a temperature nulle.
2. En utilisant Jes identites
sin 2 x = ~ [ 1 - cos 2x],
2
1
COS 2 X = - [ 1 + COS 2X),
2
97
donner !'expression de la partie non fluctuante de p(x,y,z) et de r(x,y,z),
soit respectivement p et T.
3. En rempla<;:ant Jes sommes discretes sur Jes nombres quantiques par des
integrales clans l'espace des moments, montrer que l'on a:
p = _f_k 3 et T = ~pep,
6JT2 F
5
n2
ou ep = -k} designe l'energie de Fermi, c'est-a-dire l'energie maximum des
2m
etats occupes; kp est le moment de Fermi correspondant.
4. On peut retrouver Jes expressions ci-dessus en partant des fonctions d'onde
obtenues en imposant des conditions periodiques aux limites de la boite.
Montrer qu'on obtient bien, pour la densite et la densite d'energie du systeme,
Jes memes relations que precedemment.
5. Determiner !'expression de la pression qui regne au sein de la boite.
6. Calculer le moment de Fermi des electrons clans un metal, et des nucleons
clans la matiere nucleaire.
On rappelle que la densite du cuivre est de 8,9 et que sa masse atomique est
environ 64. En moyenne, un electron par atome participe a la conduction
electrique.
On rappelle egalement que la densite de la matiere nucleaire est d'environ
2, 7 x 10 14 g.cm- 3 , et que I' energie de masse d'un nucleon est d' environ 940
MeV.
7. Decrire qualitativement, en terme d'occupation des etats individuels, un etat
excite du systeme. On introduira la densite de niveaux individuels a l'energie
de Fermi:
··
dN'
d(ep) = - de E=Ep
(11.1)
On va etudier Jes effets de taille finie clans la distribution de matiere et de vitesse
pour un gaz parfait clans le cas le plus simple: celui d'un gaz parfait de fermions a ld
et a temperature nulle.