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CHAPITRE 11. fLUIDES QUANTIQUES
s'annulent sur les bards de la boite. Mais il est aussi interessant d'identifier les bards
opposes: on impose alors que les fonctions d'onde y reprennent les memes valeurs.
Du coup, l'hamiltonien commute avec l'operateur impulsion, generateur des translations, et les fonctions propres sont de simples exponentielles imaginaires, beaucoup
plus simples a manipuler. On montre que les deux types de conditions aux limites
conduisent, pour le systeme a N particules, a des proprietes de surface differentes, mais
a des proprietes de volume identiques, a la limite ou N est grand.
Nous nous interesserons particulierement, clans cette premiere partie, aux effets de
dimensionalite, en illustrant les resultats theoriques par des analyses de donnees experimentales prises clans des champs varies de la physique : physique nucleaire, physique
de l'helium liquide, condensats de Bose d'atomes froids, geophysique, astrophysique.
Exercice 11.1. [Eta ts clans une boite J On considere une boite de potentiel a murs
infinis. Autrement
ou il est nul.
O
1. Donner I' expression des fonctions prop res normalisees de l'hamiltonien
correspondant. On pourra poser V = abc.
2. Au lieu d'imposer que les fonctions d'onde s'annulent aux bards, exigeons
a present une condition de periodicite. Cela revient a refermer I' espace sur
lui-meme: identifier l'abscisse x = 0 avec l'abscisse x = a, l'ordonnee y = 0
avec l'ordonnee y = b, la cote z = 0 avec la cote z = c.
Comment s'ecrivent clans ces conditions les fonctions d'onde individuelles?
Qu'en resulte-t-il pour la quantification des etats?
I 1.1 Gaz de Fermi a temperature nulle
Exercice 11.2. [PD] [Gaz de Fermi a temperature nulle.J
1. On place N fermions clans la boite et l'on s'interesse a l'etat fondamental du
systeme. Comment s'ecrit la densite de matiere p(x,y,z)? Comment s'ecrit la
densite d'energie r(x,y,z)? On designera par g la degenerescence eventuelle
des niveaux (spin et/ou isospin).
CHAPITRE 11. fLUIDES QUANTIQUES
s'annulent sur les bards de la boite. Mais il est aussi interessant d'identifier les bards
opposes: on impose alors que les fonctions d'onde y reprennent les memes valeurs.
Du coup, l'hamiltonien commute avec l'operateur impulsion, generateur des translations, et les fonctions propres sont de simples exponentielles imaginaires, beaucoup
plus simples a manipuler. On montre que les deux types de conditions aux limites
conduisent, pour le systeme a N particules, a des proprietes de surface differentes, mais
a des proprietes de volume identiques, a la limite ou N est grand.
Nous nous interesserons particulierement, clans cette premiere partie, aux effets de
dimensionalite, en illustrant les resultats theoriques par des analyses de donnees experimentales prises clans des champs varies de la physique : physique nucleaire, physique
de l'helium liquide, condensats de Bose d'atomes froids, geophysique, astrophysique.
Exercice 11.1. [Eta ts clans une boite J On considere une boite de potentiel a murs
infinis. Autrement
ou il est nul.
O
1. Donner I' expression des fonctions prop res normalisees de l'hamiltonien
correspondant. On pourra poser V = abc.
2. Au lieu d'imposer que les fonctions d'onde s'annulent aux bards, exigeons
a present une condition de periodicite. Cela revient a refermer I' espace sur
lui-meme: identifier l'abscisse x = 0 avec l'abscisse x = a, l'ordonnee y = 0
avec l'ordonnee y = b, la cote z = 0 avec la cote z = c.
Comment s'ecrivent clans ces conditions les fonctions d'onde individuelles?
Qu'en resulte-t-il pour la quantification des etats?
I 1.1 Gaz de Fermi a temperature nulle
Exercice 11.2. [PD] [Gaz de Fermi a temperature nulle.J
1. On place N fermions clans la boite et l'on s'interesse a l'etat fondamental du
systeme. Comment s'ecrit la densite de matiere p(x,y,z)? Comment s'ecrit la
densite d'energie r(x,y,z)? On designera par g la degenerescence eventuelle
des niveaux (spin et/ou isospin).