CHAPITRE I I
Fluides quantiques
D
ANS LE CADRE de la mecanique classique, le gaz parfait est un systeme modele
qui rend assez bien compte des gaz reels a haute temperature et/ou a basse
densite. 11 a de plus la vertu de permettre de construire analytiquement les variables
thermodynamiques macroscopiques a partir des variables microscopiques. Les gaz
parfaits quantiques ont une richesse supplementaire, car les particules quantiques, des
!ors qu'elles sont identiques, ne s'ignorent jamais tout a fait: le principe de Pauli induit
des correlations inexistantes clans le cas classique. La pression qui s'exerce clans un
gaz de fermions a temperature nulle est un exemple de cette richesse, qui a frappe les
physiciens des la mise au point de la nouvelle mecanique en 1925. Ainsi R.H. Fowler,
en 1926, anticipe que cette pression quantique peut contrebalancer la tendance a
l'effondrement gravitationnel et stabiliser certaines etoiles. La condensation de BoseEinstein fournit un autre exemple remarquable, puisqu'il s'agit d'une transition de
phase en !'absence de toute interaction entre bosons.
Nous allons considerer divers types de constituants : fermions, bosons, photons et
gaz d'excitations elementaires clans !'helium liquide. Ce dernier cas est representatif
d'une demarche generale clans la physique de la matiere condensee : remplacer des
particules en interaction par un gaz de quasi-particules (Ies excitations elementaires du
systeme) independantes.
Les photons et les excitations elementaires ont ceci en commun qu'il s'agit de
bosons dont le nombre n'est pas fixe et leur potentiel chimique est nu!. Formellement,
le traitement mathematique des deux cas est semblable, si ce n' est I' existence de deux
etats de polarisation pour les photons.
Nous nous placerons clans le cas ou le spectre des etats accessibles aux particules
est fixe. Rappelons que les nombres moyens d'occupation des etats s'ecrivent:
n;
n;
1
clans le cas des fermions
ef3(E;-µ) + 1
1
clans le cas des bosons,
ef3(E;-µ) -1
ou /3 = 1 / kb T, E; designe I' energie d'un etat a une particule etµ le po ten ti el chimique.
Souvent, les particules seront confinees clans une boite de volume fixe. Les conditions de continuite des fonctions propres de l'hamiltonien imposent alors qu' elles
Fluides quantiques
D
ANS LE CADRE de la mecanique classique, le gaz parfait est un systeme modele
qui rend assez bien compte des gaz reels a haute temperature et/ou a basse
densite. 11 a de plus la vertu de permettre de construire analytiquement les variables
thermodynamiques macroscopiques a partir des variables microscopiques. Les gaz
parfaits quantiques ont une richesse supplementaire, car les particules quantiques, des
!ors qu'elles sont identiques, ne s'ignorent jamais tout a fait: le principe de Pauli induit
des correlations inexistantes clans le cas classique. La pression qui s'exerce clans un
gaz de fermions a temperature nulle est un exemple de cette richesse, qui a frappe les
physiciens des la mise au point de la nouvelle mecanique en 1925. Ainsi R.H. Fowler,
en 1926, anticipe que cette pression quantique peut contrebalancer la tendance a
l'effondrement gravitationnel et stabiliser certaines etoiles. La condensation de BoseEinstein fournit un autre exemple remarquable, puisqu'il s'agit d'une transition de
phase en !'absence de toute interaction entre bosons.
Nous allons considerer divers types de constituants : fermions, bosons, photons et
gaz d'excitations elementaires clans !'helium liquide. Ce dernier cas est representatif
d'une demarche generale clans la physique de la matiere condensee : remplacer des
particules en interaction par un gaz de quasi-particules (Ies excitations elementaires du
systeme) independantes.
Les photons et les excitations elementaires ont ceci en commun qu'il s'agit de
bosons dont le nombre n'est pas fixe et leur potentiel chimique est nu!. Formellement,
le traitement mathematique des deux cas est semblable, si ce n' est I' existence de deux
etats de polarisation pour les photons.
Nous nous placerons clans le cas ou le spectre des etats accessibles aux particules
est fixe. Rappelons que les nombres moyens d'occupation des etats s'ecrivent:
n;
n;
1
clans le cas des fermions
ef3(E;-µ) + 1
1
clans le cas des bosons,
ef3(E;-µ) -1
ou /3 = 1 / kb T, E; designe I' energie d'un etat a une particule etµ le po ten ti el chimique.
Souvent, les particules seront confinees clans une boite de volume fixe. Les conditions de continuite des fonctions propres de l'hamiltonien imposent alors qu' elles