3.2 Paramètres d’état d’un système électromécanique
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Le calcul de la circulation du champ E, exprimé en fonction des potentiels du
champ électromagnétique par (2.8), donne le long d’un trajet ouvert délimité par
deux points M et N :
N
M
E·dl = −
N
M
∂A
∂t
·dl + (F M − F N ) = −
N
M
∂A
∂t
·dl + v M N
(3.5)
où l’intégrale au second membre représente la force électromotrice d’induction
e M N développée le long du trajet considérée, tandis que v M N désigne la différence de
potentiel, ou tension, aux bornes du dipôle M N. Dans le cas particulier où le trajet
M N est matérialisé par un fil conducteur de section droite S constante dans lequel
s’applique la loi d’Ohm (E = r e j), la circulation de E s’écrit aussi (on suppose
pour simplifier que j est uniforme et parallèle à dl tout le long du tube de courant
considéré) :
N
M
E·dl =
N
M
r e j·dl = r M N i
(3.6)
où le coefficient r M N =
r e l M N
S
représente la résistance du conducteur.
On aboutit alors à l’équation simplifiée qui régit la circulation du courant dans un
circuit électrique siège d’une force électromotrice :
v M N = r M N i − e M N
(3.7)
3.2.2 Classification en termes de variables généralisées
Conformément au formalisme de la mécanique analytique introduit à la section 2.3.1,
le comportement dynamique d’un système peut être décrit au moyen de quatre catégories de paramètres ayant trait tour à tour aux coordonnées (q
l ), vitesses ( ˙
q
l ),
impulsions ( p l ) et forces ( f l ). Il est désormais entendu que les degrés de liberté auxquels ces variables sont attachées ne sont pas nécessairement de nature mécanique.
Ainsi, telles qu’elles ont été obtenues au chapitre 2, les équations du champ électromagnétique apparaissent comme une forme particulière des équations dynamiques
généralisées écrites en termes de ces variables (équations de Lagrange). Il est donc
naturel de chercher à classer les grandeurs macroscopiques décrivant les systèmes
électro-magnéto-mécaniques à l’aide du paramétrage générique qu’offre le formalisme lagrangien.
De par sa définition même, la densité de courant j est liée à la notion de vitesse
(j = r a v a où v a désigne la vitesse des porteurs d’espèce (a), de densité de charge
r a ). Par conséquent, l’intensité i du courant peut être considérée comme une vitesse
généralisée. Cette intensité s’exprimant aussi comme la dérivée par rapport au temps
de la charge q c , cette dernière joue alors le rôle d’une coordonnée généralisée. Par
ailleurs, le lien différentiel qui unit les composantes électriques et magnétiques du
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Le calcul de la circulation du champ E, exprimé en fonction des potentiels du
champ électromagnétique par (2.8), donne le long d’un trajet ouvert délimité par
deux points M et N :
N
M
E·dl = −
N
M
∂A
∂t
·dl + (F M − F N ) = −
N
M
∂A
∂t
·dl + v M N
(3.5)
où l’intégrale au second membre représente la force électromotrice d’induction
e M N développée le long du trajet considérée, tandis que v M N désigne la différence de
potentiel, ou tension, aux bornes du dipôle M N. Dans le cas particulier où le trajet
M N est matérialisé par un fil conducteur de section droite S constante dans lequel
s’applique la loi d’Ohm (E = r e j), la circulation de E s’écrit aussi (on suppose
pour simplifier que j est uniforme et parallèle à dl tout le long du tube de courant
considéré) :
N
M
E·dl =
N
M
r e j·dl = r M N i
(3.6)
où le coefficient r M N =
r e l M N
S
représente la résistance du conducteur.
On aboutit alors à l’équation simplifiée qui régit la circulation du courant dans un
circuit électrique siège d’une force électromotrice :
v M N = r M N i − e M N
(3.7)
3.2.2 Classification en termes de variables généralisées
Conformément au formalisme de la mécanique analytique introduit à la section 2.3.1,
le comportement dynamique d’un système peut être décrit au moyen de quatre catégories de paramètres ayant trait tour à tour aux coordonnées (q
l ), vitesses ( ˙
q
l ),
impulsions ( p l ) et forces ( f l ). Il est désormais entendu que les degrés de liberté auxquels ces variables sont attachées ne sont pas nécessairement de nature mécanique.
Ainsi, telles qu’elles ont été obtenues au chapitre 2, les équations du champ électromagnétique apparaissent comme une forme particulière des équations dynamiques
généralisées écrites en termes de ces variables (équations de Lagrange). Il est donc
naturel de chercher à classer les grandeurs macroscopiques décrivant les systèmes
électro-magnéto-mécaniques à l’aide du paramétrage générique qu’offre le formalisme lagrangien.
De par sa définition même, la densité de courant j est liée à la notion de vitesse
(j = r a v a où v a désigne la vitesse des porteurs d’espèce (a), de densité de charge
r a ). Par conséquent, l’intensité i du courant peut être considérée comme une vitesse
généralisée. Cette intensité s’exprimant aussi comme la dérivée par rapport au temps
de la charge q c , cette dernière joue alors le rôle d’une coordonnée généralisée. Par
ailleurs, le lien différentiel qui unit les composantes électriques et magnétiques du