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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
relatives aux indices temporels (m = 0) et spatiaux (m = 1, 2, 3) de (2.89). Ces
équations établissent respectivement les bilans d’énergie et d’impulsion du champ
électromagnétique dans le cas général.
2.4.5 Équation bilan de l’énergie
Le courant total J
a
T = (cr T , j T ) regroupe en une même entité quadrivectorielle l’ensemble des sources libres ou liées (y compris le courant de polarisation) intervenant
dans le champ. Écrit sous sa forme covariante, ce 4-vecteur s’exprime ainsi par (cf.
tableau 2.2) :
J
T
a = (cr T , −j T ) =
cr − c divP, −j −
∂P
∂t
−
1
m 0
rot J
(2.90)
Dès lors, l’équation (2.89) fournit pour sa partie temporelle (m = 0), en y substituant les composantes correspondantes du tenseur énergie-impulsion (Q
li
(S) ) et du
tenseur de champ (F
i0 ) données respectivement par (2.85) et (2.4) :
∂U em
∂t
+ div P = −j·E − E·
∂P
∂t
−
1
m 0
E·rot J
(2.91)
Après quelques manipulations élémentaires visant à substituer les termes de polarisation électrique P et magnétique J par les champs de déplacement électrique D
et d’excitation magnétique H à l’aide de (2.16 ) et (2.17), on aboutit finalement à
l’équation exprimant la conservation de l’énergie à l’échelle macroscopique locale :
j·E + E·
∂D
∂t
+ H·
∂B
∂t
+ div (E ∧ H) = 0
(2.92)
Étendue à un domaine de volume (V ) délimité par la surface (∂V ), l’intégration
de ces différents termes fournit alors le bilan énergétique global :
(V )
j·E dv
+
(V )
E·
∂D
∂t
+ H·
∂B
∂t
dv
= −
(∂V )
(E ∧ H) ·ds
(1)
( 2)
( 3)
(2.93)
chacune des intégrales pouvant être interprétée comme :
(1) la puissance cédée par le champ aux charges libres, rendant compte de la puissance fournie par les générateurs et de la puissance convertie dans le champ sous
forme de travail mécanique, de chaleur, etc.
(2) la dérivée par rapport au temps de l’énergie électromagnétique stockée dans le
champ, augmentée de l’énergie nécessaire à la polarisation des milieux matériels ;
(3) l’énergie entrant dans le volume (V ) par unité de temps, exprimée comme le flux
à travers la surface (∂V ) du vecteur (E ∧ H) définissant le vecteur de Poynting
dans la matière.
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
relatives aux indices temporels (m = 0) et spatiaux (m = 1, 2, 3) de (2.89). Ces
équations établissent respectivement les bilans d’énergie et d’impulsion du champ
électromagnétique dans le cas général.
2.4.5 Équation bilan de l’énergie
Le courant total J
a
T = (cr T , j T ) regroupe en une même entité quadrivectorielle l’ensemble des sources libres ou liées (y compris le courant de polarisation) intervenant
dans le champ. Écrit sous sa forme covariante, ce 4-vecteur s’exprime ainsi par (cf.
tableau 2.2) :
J
T
a = (cr T , −j T ) =
cr − c divP, −j −
∂P
∂t
−
1
m 0
rot J
(2.90)
Dès lors, l’équation (2.89) fournit pour sa partie temporelle (m = 0), en y substituant les composantes correspondantes du tenseur énergie-impulsion (Q
li
(S) ) et du
tenseur de champ (F
i0 ) données respectivement par (2.85) et (2.4) :
∂U em
∂t
+ div P = −j·E − E·
∂P
∂t
−
1
m 0
E·rot J
(2.91)
Après quelques manipulations élémentaires visant à substituer les termes de polarisation électrique P et magnétique J par les champs de déplacement électrique D
et d’excitation magnétique H à l’aide de (2.16 ) et (2.17), on aboutit finalement à
l’équation exprimant la conservation de l’énergie à l’échelle macroscopique locale :
j·E + E·
∂D
∂t
+ H·
∂B
∂t
+ div (E ∧ H) = 0
(2.92)
Étendue à un domaine de volume (V ) délimité par la surface (∂V ), l’intégration
de ces différents termes fournit alors le bilan énergétique global :
(V )
j·E dv
+
(V )
E·
∂D
∂t
+ H·
∂B
∂t
dv
= −
(∂V )
(E ∧ H) ·ds
(1)
( 2)
( 3)
(2.93)
chacune des intégrales pouvant être interprétée comme :
(1) la puissance cédée par le champ aux charges libres, rendant compte de la puissance fournie par les générateurs et de la puissance convertie dans le champ sous
forme de travail mécanique, de chaleur, etc.
(2) la dérivée par rapport au temps de l’énergie électromagnétique stockée dans le
champ, augmentée de l’énergie nécessaire à la polarisation des milieux matériels ;
(3) l’énergie entrant dans le volume (V ) par unité de temps, exprimée comme le flux
à travers la surface (∂V ) du vecteur (E ∧ H) définissant le vecteur de Poynting
dans la matière.