2.4 Énergies et forces
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2.4.6 Bilan d’impulsion - Forces dans le champ électromagnétique
L’équation de conservation (2.89) se formule quant à sa partie spatiale (m = 1, 2, 3)
par :
∂ l Q
li
(S) = m 0 F
ai
J
T
a
(2.94)
Le regroupement des trois relations qui en résultent (i = 1, 2, 3), transcrites en
fonction des composantes des tenseurs Q
lm
(S) , F
lm et du vecteur J
T
a , conduit alors au
bilan local d’impulsion :
∂
∂t
P i
c 2
+ r T E i + (j T ∧ E) i = ∂ k T
(M)
ik
(2.95)
Étendu à un volume (V ) d’enveloppe (∂V ), ce bilan (vectoriel) s’écrira finalement :
d
dt
(V )
P i
c 2 dv
+
(V )
r T E i + (j T ∧ E) i
dv
=
(∂V )
T
(M)
ik ds k
(1)
( 2)
( 3)
(2.96)
Ces différents termes s’interprètent comme :
(1) la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement totale contenue dans
le champ électromagnétique (le vecteur P/c
2 = e 0 (E ∧ B) représente la densité
volumique de l’impulsion du champ) ;
(2) la variation temporelle de la quantité de mouvement des particules matérielles
contenues dans (V ) ;
(3) la quantité de mouvement entrant dans le volume (V ) au travers de son enveloppe
(∂V ) durant l’unité de temps.
Ayant la dimension d’une force, ce dernier terme joue par conséquent un rôle majeur dans la détermination des actions mécaniques exercées par le champ sur les corps
macroscopiques. Ainsi, dans le cas d’un solide indéformable supportant des sources
électromagnétiques, le calcul des efforts subis par le corps, lorsqu’il est plongé dans
un champ supposé connu, pourra être mené en intégrant le tenseur de Maxwell T
(M)
ik
sur une surface enveloppe entourant l’objet considéré. Il est évidemment entendu
que, le corps étant indéformable, seul le torseur global de ces actions (force résultante et moment du couple) possède une signification physique pleinement établie.
L’accès à la distribution des efforts locaux (contraintes) et aux déformations d’origine
électromagnétique qu’elles engendrent requiert quant à lui la résolution du problème
électro-magnéto-élastique couplé.
Afin d’illustrer le sens concret du tenseur des contraintes de Maxwell défini par
l’expression (2.84), le tableau 2.4 décrit les efforts élémentaires résultant de différentes configurations du champ (électrique ou magnétique).
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2.4.6 Bilan d’impulsion - Forces dans le champ électromagnétique
L’équation de conservation (2.89) se formule quant à sa partie spatiale (m = 1, 2, 3)
par :
∂ l Q
li
(S) = m 0 F
ai
J
T
a
(2.94)
Le regroupement des trois relations qui en résultent (i = 1, 2, 3), transcrites en
fonction des composantes des tenseurs Q
lm
(S) , F
lm et du vecteur J
T
a , conduit alors au
bilan local d’impulsion :
∂
∂t
P i
c 2
+ r T E i + (j T ∧ E) i = ∂ k T
(M)
ik
(2.95)
Étendu à un volume (V ) d’enveloppe (∂V ), ce bilan (vectoriel) s’écrira finalement :
d
dt
(V )
P i
c 2 dv
+
(V )
r T E i + (j T ∧ E) i
dv
=
(∂V )
T
(M)
ik ds k
(1)
( 2)
( 3)
(2.96)
Ces différents termes s’interprètent comme :
(1) la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement totale contenue dans
le champ électromagnétique (le vecteur P/c
2 = e 0 (E ∧ B) représente la densité
volumique de l’impulsion du champ) ;
(2) la variation temporelle de la quantité de mouvement des particules matérielles
contenues dans (V ) ;
(3) la quantité de mouvement entrant dans le volume (V ) au travers de son enveloppe
(∂V ) durant l’unité de temps.
Ayant la dimension d’une force, ce dernier terme joue par conséquent un rôle majeur dans la détermination des actions mécaniques exercées par le champ sur les corps
macroscopiques. Ainsi, dans le cas d’un solide indéformable supportant des sources
électromagnétiques, le calcul des efforts subis par le corps, lorsqu’il est plongé dans
un champ supposé connu, pourra être mené en intégrant le tenseur de Maxwell T
(M)
ik
sur une surface enveloppe entourant l’objet considéré. Il est évidemment entendu
que, le corps étant indéformable, seul le torseur global de ces actions (force résultante et moment du couple) possède une signification physique pleinement établie.
L’accès à la distribution des efforts locaux (contraintes) et aux déformations d’origine
électromagnétique qu’elles engendrent requiert quant à lui la résolution du problème
électro-magnéto-élastique couplé.
Afin d’illustrer le sens concret du tenseur des contraintes de Maxwell défini par
l’expression (2.84), le tableau 2.4 décrit les efforts élémentaires résultant de différentes configurations du champ (électrique ou magnétique).