2.4 Énergies et forces
63
Dès lors, le tenseur énergie-impulsion symétrique du champ électromagnétique se
présente finalement sous la forme du tableau :
Q
lm
(S) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
U em
P x
c
P y
c
P z
c
P x
c
−T
(M)
x x
−T
(M)
xy
−T
(M)
xz
P y
c
−T
(M)
xy
−T
(M)
yy
−T
(M)
yz
P z
c
−T
(M)
xz
−T
(M)
yz
−T
(M)
zz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(2.85)
2.4.4 Équation de conservation en présence de sources
Dans le cas où des sources libres ou liées interagissent avec le champ électromagnétique, la divergence du tenseur énergie-impulsion n’est plus nulle (l’équation (2.72 )
n’est plus vérifiée). La conservation de la 4-impulsion reste vraie à condition toutefois de tenir compte de la contribution des sources agissant dans le champ. En vue
d’établir les bilans d’énergie et d’impulsion correspondants, il s’agit donc de calculer la divergence de Q
lm
(S) en présence de sources extérieures et de milieux matériels.
Exprimée à partir de (2.75), cette divergence s’écrit :
∂ l Q
lm
(S) =
1
m 0
F
am ∂
b
F ba + F ba ∂
b
F
am +
1
2
F rs ∂
m
F
rs
(2.86)
Le premier terme au second membre peut être transformé à l’aide de l’équation
inhomogène (2.53), ce qui donne :
F
am ∂
b
F ba = m 0 F
am
J
T
a
(2.87)
Quant aux deux termes suivants, on peut les réécrire en utilisant l’équation homogène exprimée sous la forme (2.55). Il vient ainsi :
F ba ∂
b
F
am +
1
2
F rs ∂
m
F
rs =
1
2
F ba
∂
b
F
am + ∂
b
F
am + ∂
m
F
ba
=
1
2
F ba
∂
b
F
am + ∂
a
F
bm
(2.88)
Or, le terme entre parenthèses étant symétrique en a,b, sa contraction avec le tenseur antisymétrique F ba produit une somme nulle. Par conséquent, la divergence du
tenseur énergie-impulsion est donnée dans le cas général par :
∂ l Q
lm
(S) = m 0 F
am
J
T
a
(2.89)
Cette nouvelle équation condense en une formulation manifestement covariante
les lois de conservation auxquelles satisfait le système formé par le champ électromagnétique, les sources et les milieux matériels avec lesquels il interagit. Pour en
expliciter pleinement la signification, il convient d’écrire séparément les équations
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Dès lors, le tenseur énergie-impulsion symétrique du champ électromagnétique se
présente finalement sous la forme du tableau :
Q
lm
(S) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
U em
P x
c
P y
c
P z
c
P x
c
−T
(M)
x x
−T
(M)
xy
−T
(M)
xz
P y
c
−T
(M)
xy
−T
(M)
yy
−T
(M)
yz
P z
c
−T
(M)
xz
−T
(M)
yz
−T
(M)
zz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(2.85)
2.4.4 Équation de conservation en présence de sources
Dans le cas où des sources libres ou liées interagissent avec le champ électromagnétique, la divergence du tenseur énergie-impulsion n’est plus nulle (l’équation (2.72 )
n’est plus vérifiée). La conservation de la 4-impulsion reste vraie à condition toutefois de tenir compte de la contribution des sources agissant dans le champ. En vue
d’établir les bilans d’énergie et d’impulsion correspondants, il s’agit donc de calculer la divergence de Q
lm
(S) en présence de sources extérieures et de milieux matériels.
Exprimée à partir de (2.75), cette divergence s’écrit :
∂ l Q
lm
(S) =
1
m 0
F
am ∂
b
F ba + F ba ∂
b
F
am +
1
2
F rs ∂
m
F
rs
(2.86)
Le premier terme au second membre peut être transformé à l’aide de l’équation
inhomogène (2.53), ce qui donne :
F
am ∂
b
F ba = m 0 F
am
J
T
a
(2.87)
Quant aux deux termes suivants, on peut les réécrire en utilisant l’équation homogène exprimée sous la forme (2.55). Il vient ainsi :
F ba ∂
b
F
am +
1
2
F rs ∂
m
F
rs =
1
2
F ba
∂
b
F
am + ∂
b
F
am + ∂
m
F
ba
=
1
2
F ba
∂
b
F
am + ∂
a
F
bm
(2.88)
Or, le terme entre parenthèses étant symétrique en a,b, sa contraction avec le tenseur antisymétrique F ba produit une somme nulle. Par conséquent, la divergence du
tenseur énergie-impulsion est donnée dans le cas général par :
∂ l Q
lm
(S) = m 0 F
am
J
T
a
(2.89)
Cette nouvelle équation condense en une formulation manifestement covariante
les lois de conservation auxquelles satisfait le système formé par le champ électromagnétique, les sources et les milieux matériels avec lesquels il interagit. Pour en
expliciter pleinement la signification, il convient d’écrire séparément les équations