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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
Comme nous l’avons déjà indiqué, l’intégration de Q
lm
(S) sur une hypersurface de
l’espace-temps forme la 4-impulsion du système. Si cette hypersurface (de dimension
3) coïncide avec l’hyperplan orthogonal à l’axe des temps (élément d’aire ds 0 ), l’intégration est alors étendue à tout l’espace tridimensionnel selon un terme générique
de la forme
Q
0m
(S) dv. L’intégrale portant sur la composante temporelle Q
00
(S) n’est
autre que l’énergie contenue dans le champ. L’équation (2.72) assure par conséquent
la conservation de cette énergie au cours du temps. Quant à l’intégrale portant sur
les composantes spatio-temporelles Q
0i
(S) , elle peut être interprétée comme la quantité de mouvement totale contenue dans le champ libre (en l’absence de sources). Le
vecteur de Poynting apparaît ainsi comme la densité d’impulsion du champ électromagnétique (à une constante près). En vertu de la même équation (2.72), l’impulsion
du champ se trouve également conservée.
En ce qui concerne enfin les composantes spatiales de Q
lm
(S) , elles s’expriment de
manière générale par :
Q
ik
(S) =
1
m 0
g
ib
F ba F
ak +
1
4
g
ik
F rs F
rs
=
1
m 0
F
i
0 F
0k + F
i
l F
lk +
1
2
d
ik
E 2
c 2 − B
2
(2.81)
Remarquant que
(1) :
F
i
0 F
0k = −
1
c 2 E i E k
(2.82)
et que :
F
i
l F
lk = −B i B k + d
ik B
2
(2.83)
il apparaît que les composantes Q
ik
(S) forment, au signe près, un tenseur de l’espace tridimensionnel appelé tenseur des contraintes de Maxwell. Son expression est
donnée par la formule :
T
(M)
ik
=
e 0 E i E k +
1
m 0
B i B k −
1
2
d ik
e 0 E
2 +
B 2
m 0
(2.84)
On verra plus loin que cette quantité rend compte du flux d’impulsion d’origine
électromagnétique entrant dans le volume considéré par unité de temps. À l’instar du
tenseur des contraintes de la mécanique, cette grandeur a donc la dimension d’une
force par unité de surface.
(1) On rappelle qu’il n’y a pas lieu de distinguer les composantes contravariantes et covariantes des vecteurs
de l’espace à trois dimensions puisque ce dernier est ici rapporté à un repère orthonormé.
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
Comme nous l’avons déjà indiqué, l’intégration de Q
lm
(S) sur une hypersurface de
l’espace-temps forme la 4-impulsion du système. Si cette hypersurface (de dimension
3) coïncide avec l’hyperplan orthogonal à l’axe des temps (élément d’aire ds 0 ), l’intégration est alors étendue à tout l’espace tridimensionnel selon un terme générique
de la forme
Q
0m
(S) dv. L’intégrale portant sur la composante temporelle Q
00
(S) n’est
autre que l’énergie contenue dans le champ. L’équation (2.72) assure par conséquent
la conservation de cette énergie au cours du temps. Quant à l’intégrale portant sur
les composantes spatio-temporelles Q
0i
(S) , elle peut être interprétée comme la quantité de mouvement totale contenue dans le champ libre (en l’absence de sources). Le
vecteur de Poynting apparaît ainsi comme la densité d’impulsion du champ électromagnétique (à une constante près). En vertu de la même équation (2.72), l’impulsion
du champ se trouve également conservée.
En ce qui concerne enfin les composantes spatiales de Q
lm
(S) , elles s’expriment de
manière générale par :
Q
ik
(S) =
1
m 0
g
ib
F ba F
ak +
1
4
g
ik
F rs F
rs
=
1
m 0
F
i
0 F
0k + F
i
l F
lk +
1
2
d
ik
E 2
c 2 − B
2
(2.81)
Remarquant que
(1) :
F
i
0 F
0k = −
1
c 2 E i E k
(2.82)
et que :
F
i
l F
lk = −B i B k + d
ik B
2
(2.83)
il apparaît que les composantes Q
ik
(S) forment, au signe près, un tenseur de l’espace tridimensionnel appelé tenseur des contraintes de Maxwell. Son expression est
donnée par la formule :
T
(M)
ik
=
e 0 E i E k +
1
m 0
B i B k −
1
2
d ik
e 0 E
2 +
B 2
m 0
(2.84)
On verra plus loin que cette quantité rend compte du flux d’impulsion d’origine
électromagnétique entrant dans le volume considéré par unité de temps. À l’instar du
tenseur des contraintes de la mécanique, cette grandeur a donc la dimension d’une
force par unité de surface.
(1) On rappelle qu’il n’y a pas lieu de distinguer les composantes contravariantes et covariantes des vecteurs
de l’espace à trois dimensions puisque ce dernier est ici rapporté à un repère orthonormé.