2.4 Énergies et forces
61
Notons par ailleurs que la définition de Q
lm n’est pas univoque, en ce sens que
l’équation (2.72) est encore satisfaite si l’on ajoute à Q
lm un terme de la forme
∂
a c
l
a
m tel que c
l
a
m = −c a
lm auquel cas on voit immédiatement que :
∂ l ∂
a c
l
a
m = −∂ l ∂
a c a
lm = −∂
l ∂ a c
a
l
m = 0.
Le terme
1
m 0
g
lb
F ba ∂
a
A
m satisfait précisément à cette condition
(1) . Ajouté à l’expression de Q
lm , il permet d’en symétriser la forme en faisant apparaître le tenseur
du champ (F
am = ∂
a
A
m
− ∂
m
A
a ). On aboutit ainsi à la formulation symétrique du
tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique définie par :
Q
lm
(S) =
1
m 0
g
lb
F ba F
am +
1
4
g
lm
F rs F
rs
(2.75)
2.4.3 Composantes du tenseur énergie-impulsion symétrique
Afin de dégager la signification physique des composantes du tenseur énergieimpulsion tel que défini sous sa forme symétrique par (2.75), il convient au préalable
d’en expliciter les différents termes à l’aide des matrices représentant le tenseur de
champ et le tenseur fondamental (cf. annexe A.2.6 et A.3.6).
Le calcul du premier terme de la diagonale donne tout d’abord :
Q
00
(S) =
1
m 0
g
00
F 0i F
i0 +
1
4
g
00
F rs F
rs
=
1
m 0
E 2
c 2 +
1
2
−
E 2
c 2 + B
2
(2.76)
Ce terme s’identifie à la densité d’énergie du champ électromagnétique :
Q
00
(S) = U em =
e 0 E 2
2
+
B 2
2m 0
(2.77)
S’agissant des composantes spatio-temporelles, on a d’autre part :
Q
0i
(S) = Q
i0
(S) =
1
m 0
g
00
F 0k F
ki
(2.78)
ce qui s’écrit, après subsitution des composantes du champ et regroupement des trois
relations obtenues (i = 1, 2, 3) :
Q
0i
(S) =
P
c
(2.79)
où P désigne un vecteur de l’espace à trois dimensions appelé vecteur de Poynting et
défini par :
P =
1
m 0
(E ∧ B)
(2.80)
(1) Pour s’en convaincre, il suffit de développer l’expression ∂ a
F l a A m
= g lb ∂ a
F ba A m
en remarquant que le terme A m ∂ a F ba est nul du fait de l’équation (2.53) en l’absence de sources.
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Notons par ailleurs que la définition de Q
lm n’est pas univoque, en ce sens que
l’équation (2.72) est encore satisfaite si l’on ajoute à Q
lm un terme de la forme
∂
a c
l
a
m tel que c
l
a
m = −c a
lm auquel cas on voit immédiatement que :
∂ l ∂
a c
l
a
m = −∂ l ∂
a c a
lm = −∂
l ∂ a c
a
l
m = 0.
Le terme
1
m 0
g
lb
F ba ∂
a
A
m satisfait précisément à cette condition
(1) . Ajouté à l’expression de Q
lm , il permet d’en symétriser la forme en faisant apparaître le tenseur
du champ (F
am = ∂
a
A
m
− ∂
m
A
a ). On aboutit ainsi à la formulation symétrique du
tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique définie par :
Q
lm
(S) =
1
m 0
g
lb
F ba F
am +
1
4
g
lm
F rs F
rs
(2.75)
2.4.3 Composantes du tenseur énergie-impulsion symétrique
Afin de dégager la signification physique des composantes du tenseur énergieimpulsion tel que défini sous sa forme symétrique par (2.75), il convient au préalable
d’en expliciter les différents termes à l’aide des matrices représentant le tenseur de
champ et le tenseur fondamental (cf. annexe A.2.6 et A.3.6).
Le calcul du premier terme de la diagonale donne tout d’abord :
Q
00
(S) =
1
m 0
g
00
F 0i F
i0 +
1
4
g
00
F rs F
rs
=
1
m 0
E 2
c 2 +
1
2
−
E 2
c 2 + B
2
(2.76)
Ce terme s’identifie à la densité d’énergie du champ électromagnétique :
Q
00
(S) = U em =
e 0 E 2
2
+
B 2
2m 0
(2.77)
S’agissant des composantes spatio-temporelles, on a d’autre part :
Q
0i
(S) = Q
i0
(S) =
1
m 0
g
00
F 0k F
ki
(2.78)
ce qui s’écrit, après subsitution des composantes du champ et regroupement des trois
relations obtenues (i = 1, 2, 3) :
Q
0i
(S) =
P
c
(2.79)
où P désigne un vecteur de l’espace à trois dimensions appelé vecteur de Poynting et
défini par :
P =
1
m 0
(E ∧ B)
(2.80)
(1) Pour s’en convaincre, il suffit de développer l’expression ∂ a
F l a A m
= g lb ∂ a
F ba A m
en remarquant que le terme A m ∂ a F ba est nul du fait de l’équation (2.53) en l’absence de sources.