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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
ce qui donne, en tenant compte de l’équation (2.45) :
∂
m L = ∂
b
∂L
∂ b A a
∂
m
A
a +
∂L
∂
∂ b A a
∂
m ∂
b
A
a = ∂
b
∂L
∂
∂ b A a
∂
m
A
a
(2.68)
Remarquons que le premier membre de cette relation s’écrit aussi :
∂
m L = d
m
b ∂
b L = ∂
b d
m
b L
(2.69)
Par ailleurs, le champ étant ici considéré en l’absence de toutes sources libres ou
liées (champ libre), la densité L exprimée par (2.46) se réduit à la contraction du
tenseur de champ F rs avec lui-même :
L = −
1
4m 0
F rs F
rs
(2.70)
De même, à l’aide de (2.50), la dérivée de L par rapport aux termes de vitesses
généralisées ∂
b
A
a s’exprime en fonction du tenseur du champ par :
∂L
∂
∂ b A a
=
1
m 0
F ab
(2.71)
Par conséquent, l’équation initiale se met finalement sous la forme :
∂
b Q b
m = 0
(2.72)
avec :
Q b
m =
1
m 0
F ab ∂
m
A
a +
1
4m 0
d
m
b F rs F
rs
(2.73)
ou encore, pour les composantes contravariantes du tenseur ainsi défini :
Q
lm = g
lb Q b
m = −
1
m 0
g
lb
F ba ∂
m
A
a +
1
4m 0
g
lm
F rs F
rs
(2.74)
L’équation (2.72) montre qu’il existe pour le champ une quantité tensorielle du
deuxième ordre dont la divergence est identiquement nulle. Ainsi, de même que le
flux d’un vecteur de l’espace tridimensionnel dont la divergence est nulle se conserve,
l’équation (2.72) exprime le caractère conservatif de l’intégrale
Q b
m ds b prise sur
une hypersurface fermée de l’espace-temps (cf. section A.6.8). Cette intégrale forme
un quadrivecteur qui correspond (à une constante près) à la 4-impulsion du champ
électromagnétique.