2.4 Énergies et forces
59
Si, de plus, on admet que l’énergie cinétique est une fonction quadratique des
vitesses, il vient immédiatement :
˙
q
l ∂E c
∂ ˙
q l = 2E c
(2.65)
d’où finalement :
E = ˙
q
l ∂ L
∂ ˙
q l − L = E c + E p
(2.66)
Ainsi, la conservation de l’énergie totale E du système constitue une donnée fondamentale de son évolution. On dit que l’énergie E est une intégrale première du
mouvement.
Par ailleurs, en l’absence de force appliquée ( f l = ∂ L/∂q
l = 0), une conséquence directe des équations de Lagrange réside dans la conservation de la quantité
∂ L/∂ ˙
q
l égale à l’impulsion p l ( ˙
p l = f l = 0). Pour un système mécanique macroscopique, on peut toujours affecter trois de ses coordonnées généralisées aux trois coordonnées de son centre d’inertie. Les impulsions correspondantes s’identifient alors
aux composantes de la quantité de mouvement totale p du système. Cette grandeur
se conserve à l’évidence si le système est isolé (la somme des forces agissant sur
l’ensemble des particules du système est nulle à tout instant). Comme l’énergie totale, l’impulsion apparaît dans ces conditions comme une autre intégrale première du
mouvement.
On ne sera donc pas étonné que, en mécanique relativiste, ces deux quantités soient
appréhendées au travers d’une seule et même grandeur physique, le quadrivecteur
énergie-impulsion [36]. Énergie et quantité de mouvement en constituent respectivement les composantes temporelles et spatiales, tandis que les intégrales premières
formulées en terme de ce quadrivecteur apparaissent comme la conséquence d’une
seule et même loi de conservation.
2.4.2 Tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique
Comme nous avons déjà eu l’occasion de le souligner, le champ électromagnétique
constitue un objet physique à part entière de l’espace-temps. Dès lors, de même qu’il
possède une densité d’énergie, on doit également pouvoir définir pour le champ une
densité d’impulsion, l’ensemble de ces notions étant assujetti à une loi de conservation commune. Avant d’établir les équations bilan qui en résultent, il s’agit, dans un
premier temps, de définir la grandeur regroupant l’énergie et l’impulsion du champ.
À cette fin, on peut procéder selon un raisonnement analogue à celui précédemment employé dans le cas d’un système mécanique. Le champ est caractérisé par une
densité lagrangienne L et ses degrés de liberté sont assimilés aux composantes du
4-potentiels A
l (cf. section 2.3.4). L’analogue de l’équation (2.61) s’écrit alors :
∂
m L =
∂L
∂A a ∂
m
A
a +
∂L
∂
∂ b A a
∂
m
∂
b
A
a
(2.67)
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Si, de plus, on admet que l’énergie cinétique est une fonction quadratique des
vitesses, il vient immédiatement :
˙
q
l ∂E c
∂ ˙
q l = 2E c
(2.65)
d’où finalement :
E = ˙
q
l ∂ L
∂ ˙
q l − L = E c + E p
(2.66)
Ainsi, la conservation de l’énergie totale E du système constitue une donnée fondamentale de son évolution. On dit que l’énergie E est une intégrale première du
mouvement.
Par ailleurs, en l’absence de force appliquée ( f l = ∂ L/∂q
l = 0), une conséquence directe des équations de Lagrange réside dans la conservation de la quantité
∂ L/∂ ˙
q
l égale à l’impulsion p l ( ˙
p l = f l = 0). Pour un système mécanique macroscopique, on peut toujours affecter trois de ses coordonnées généralisées aux trois coordonnées de son centre d’inertie. Les impulsions correspondantes s’identifient alors
aux composantes de la quantité de mouvement totale p du système. Cette grandeur
se conserve à l’évidence si le système est isolé (la somme des forces agissant sur
l’ensemble des particules du système est nulle à tout instant). Comme l’énergie totale, l’impulsion apparaît dans ces conditions comme une autre intégrale première du
mouvement.
On ne sera donc pas étonné que, en mécanique relativiste, ces deux quantités soient
appréhendées au travers d’une seule et même grandeur physique, le quadrivecteur
énergie-impulsion [36]. Énergie et quantité de mouvement en constituent respectivement les composantes temporelles et spatiales, tandis que les intégrales premières
formulées en terme de ce quadrivecteur apparaissent comme la conséquence d’une
seule et même loi de conservation.
2.4.2 Tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique
Comme nous avons déjà eu l’occasion de le souligner, le champ électromagnétique
constitue un objet physique à part entière de l’espace-temps. Dès lors, de même qu’il
possède une densité d’énergie, on doit également pouvoir définir pour le champ une
densité d’impulsion, l’ensemble de ces notions étant assujetti à une loi de conservation commune. Avant d’établir les équations bilan qui en résultent, il s’agit, dans un
premier temps, de définir la grandeur regroupant l’énergie et l’impulsion du champ.
À cette fin, on peut procéder selon un raisonnement analogue à celui précédemment employé dans le cas d’un système mécanique. Le champ est caractérisé par une
densité lagrangienne L et ses degrés de liberté sont assimilés aux composantes du
4-potentiels A
l (cf. section 2.3.4). L’analogue de l’équation (2.61) s’écrit alors :
∂
m L =
∂L
∂A a ∂
m
A
a +
∂L
∂
∂ b A a
∂
m
∂
b
A
a
(2.67)