58
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
Lorsque l’on a affaire à un milieu excité en régime harmonique, on peut en effet remarquer que le phénomène d’hystérésis (terme qui signifie « retard ») a pour effet de
déphaser le signal représentatif de la réponse du milieu (attachée par exemple à S ik ,
D i ou B i ) par rapport au signal d’excitation (respectivement liée à T ik , E i ou H i ).
L’introduction de constantes complexes revient alors, pour une fréquence donnée, à
assimiler le cycle à une boucle elliptique dont l’aire mesure directement l’énergie
dissipée (par unité de volume) au cours d’un cycle de travail.
2.4 ÉNERGIES ET FORCES
Associées aux lois constititives des milieux, les équations rassemblées dans le tableau 2.2 suffisent en principe à déterminer la distribution spatio-temporelle du
champ électromagnétique lorsque les sources qui lui donnent naissance sont connues.
La dynamique couplée du champ et des sources requiert quant à elle l’adjonction
d’une équation supplémentaire ayant trait à la loi d’interaction. Pour une particule
élémentaire (de charge q e ), cette loi d’interaction n’est autre que l’expression de la
force de Lorentz (F = q e (E + v ∧ B)). Dans le cas d’un système distribué, il s’agira
plus généralement de s’intéresser à l’énergie contenue dans le champ, à la quantité
de mouvement qu’il renferme et aux équations bilan qui en résultent.
2.4.1 Énergie et impulsion d’un système mécanique
Considérons tout d’abord le cas d’un système mécanique caractérisé par sa fonction
de Lagrange L. Le système étant supposé isolé, le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps (cf. section 2.3.1), si bien que sa dérivée temporelle s’écrit :
d L
dt
=
∂ L
∂q l ˙
q
l +
∂ L
∂ ˙
q l ¨
q
l
(2.61)
Tenant compte des équations de Lagrange (2.34), il vient :
d L
dt
= ˙
q
l d
dt
∂ L
∂ ˙
q l +
∂ L
∂ ˙
q l ¨
q
l =
d
dt
˙
q
l ∂ L
∂ ˙
q l
(2.62)
ou encore :
d
dt
˙
q
l ∂ L
∂ ˙
q l − L
= 0
(2.63)
ce qui montre que la quantité entre parenthèses se conserve au cours du mouvement.
Cette quantité représente l’énergie totale E du système, somme de ses énergies cinétique et potentielle. Il résulte en effet de la forme particulière du lagrangien pour un
système conservatif (L (q, ˙
q) = E c (q, ˙
q) − E p (q)) l’identité :
˙
q
l ∂ L
∂ ˙
q l = ˙
q
l ∂E c
∂ ˙
q l
(2.64)
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
Lorsque l’on a affaire à un milieu excité en régime harmonique, on peut en effet remarquer que le phénomène d’hystérésis (terme qui signifie « retard ») a pour effet de
déphaser le signal représentatif de la réponse du milieu (attachée par exemple à S ik ,
D i ou B i ) par rapport au signal d’excitation (respectivement liée à T ik , E i ou H i ).
L’introduction de constantes complexes revient alors, pour une fréquence donnée, à
assimiler le cycle à une boucle elliptique dont l’aire mesure directement l’énergie
dissipée (par unité de volume) au cours d’un cycle de travail.
2.4 ÉNERGIES ET FORCES
Associées aux lois constititives des milieux, les équations rassemblées dans le tableau 2.2 suffisent en principe à déterminer la distribution spatio-temporelle du
champ électromagnétique lorsque les sources qui lui donnent naissance sont connues.
La dynamique couplée du champ et des sources requiert quant à elle l’adjonction
d’une équation supplémentaire ayant trait à la loi d’interaction. Pour une particule
élémentaire (de charge q e ), cette loi d’interaction n’est autre que l’expression de la
force de Lorentz (F = q e (E + v ∧ B)). Dans le cas d’un système distribué, il s’agira
plus généralement de s’intéresser à l’énergie contenue dans le champ, à la quantité
de mouvement qu’il renferme et aux équations bilan qui en résultent.
2.4.1 Énergie et impulsion d’un système mécanique
Considérons tout d’abord le cas d’un système mécanique caractérisé par sa fonction
de Lagrange L. Le système étant supposé isolé, le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps (cf. section 2.3.1), si bien que sa dérivée temporelle s’écrit :
d L
dt
=
∂ L
∂q l ˙
q
l +
∂ L
∂ ˙
q l ¨
q
l
(2.61)
Tenant compte des équations de Lagrange (2.34), il vient :
d L
dt
= ˙
q
l d
dt
∂ L
∂ ˙
q l +
∂ L
∂ ˙
q l ¨
q
l =
d
dt
˙
q
l ∂ L
∂ ˙
q l
(2.62)
ou encore :
d
dt
˙
q
l ∂ L
∂ ˙
q l − L
= 0
(2.63)
ce qui montre que la quantité entre parenthèses se conserve au cours du mouvement.
Cette quantité représente l’énergie totale E du système, somme de ses énergies cinétique et potentielle. Il résulte en effet de la forme particulière du lagrangien pour un
système conservatif (L (q, ˙
q) = E c (q, ˙
q) − E p (q)) l’identité :
˙
q
l ∂ L
∂ ˙
q l = ˙
q
l ∂E c
∂ ˙
q l
(2.64)