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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
fixer les idées que l’axe de symétrie coïncide avec l’axe Oz. La relation constitutive du milieu magnétique (B i = m ik H k ) doit rester invariante vis-à-vis de la rotation
opérée (puisque la configuration physique de la matière s’en trouve inchangée). Or,
au cours de la transformation, les composantes de B et H selon Ox et Oy changent
de signe, tandis que les composantes selon Oz se conservent. Par conséquent, les
constantes rendant compte d’un couplage magnétique entre les directions Ox ou
Oy et la direction Oz sont nécessairement nulles (m 13 = m 31 = m 23 = m 32 = 0). On
en conclut que le tenseur de perméabilité d’un cristal possédant un axe de symétrie
d’ordre 2 (selon l’axe Oz) doit a priori être représenté par une matrice de la forme :
m ik
=
⎛
⎝
m 11 m 12 0
m 21 m 22 0
0
0 m 33
⎞
⎠
(2.60)
Tableau 2.3 Lois constitutives associées aux principaux types de milieux linéaires homogènes
Type de milieu
Relation constitutive
Relation constitutive
Nom
(isotrope)
(anisotrope)
de la constante
élastique
T ik = 2m L S ik + l L d ik Smm
T ik = c iklm S lm
rigidité
(l L , m L : constantes de Lamé)
S ik = s iklm T lm
souplesse
diélectrique
D = eE
D i = e ik E k
permittivité,
P = e 0 xeE
P i = e 0 xe ik E k
susceptibilité
e = e 0 (1 + xe)
e ik = e 0
d ik + xe ik
électriques
magnétique
B = mH
B i = m ik H k
perméabilité,
J = m 0 xmH
J i = m 0 xm ik H k
susceptibilité
m = m 0 (1 + xm)
m ik = m 0
d ik + xm ik
magnétiques
conducteur
E = rej
E i = re ik j k
résistivité,
j = seE
j i = se ik E k
conductivité
électriques
supraconducteur
dj
dt
=
1
m 0 l 2
s
E
ou j = −
1
m 0 l 2
s
A
(pour Q < Qc et H < Hc 1 ) profondeur
de pénétration
L’anisotropie de la matière joue également un rôle majeur dans l’interprétation des
mécanismes de couplage entre des propriétés de différentes natures. Tel est le cas
des couplages électro- ou magnéto-élastiques intervenant en piézoélectricité ou en
magnétostriction (cf section 4.4), domaines pour lesquels les raisonnements sur la
symétrie des tenseurs se révèlent très précieux.
Enfin, il convient de souligner que nombre des matériaux performants utilisés
en électromécanique suivent une loi de comportement éminemment non-linéaire.
L’hystérèse des matériaux ferromagnétiques ou ferroélectriques est particulièrement
révélatrice de ce type de difficulté [39]. Néanmoins, face à des conditions d’exploitation bien déterminées (par exemple lorsque le point de fonctionnement ne décrit
qu’une petite partie du cycle d’hystérésis), on pourra être amené à idéaliser ce type
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
fixer les idées que l’axe de symétrie coïncide avec l’axe Oz. La relation constitutive du milieu magnétique (B i = m ik H k ) doit rester invariante vis-à-vis de la rotation
opérée (puisque la configuration physique de la matière s’en trouve inchangée). Or,
au cours de la transformation, les composantes de B et H selon Ox et Oy changent
de signe, tandis que les composantes selon Oz se conservent. Par conséquent, les
constantes rendant compte d’un couplage magnétique entre les directions Ox ou
Oy et la direction Oz sont nécessairement nulles (m 13 = m 31 = m 23 = m 32 = 0). On
en conclut que le tenseur de perméabilité d’un cristal possédant un axe de symétrie
d’ordre 2 (selon l’axe Oz) doit a priori être représenté par une matrice de la forme :
m ik
=
⎛
⎝
m 11 m 12 0
m 21 m 22 0
0
0 m 33
⎞
⎠
(2.60)
Tableau 2.3 Lois constitutives associées aux principaux types de milieux linéaires homogènes
Type de milieu
Relation constitutive
Relation constitutive
Nom
(isotrope)
(anisotrope)
de la constante
élastique
T ik = 2m L S ik + l L d ik Smm
T ik = c iklm S lm
rigidité
(l L , m L : constantes de Lamé)
S ik = s iklm T lm
souplesse
diélectrique
D = eE
D i = e ik E k
permittivité,
P = e 0 xeE
P i = e 0 xe ik E k
susceptibilité
e = e 0 (1 + xe)
e ik = e 0
d ik + xe ik
électriques
magnétique
B = mH
B i = m ik H k
perméabilité,
J = m 0 xmH
J i = m 0 xm ik H k
susceptibilité
m = m 0 (1 + xm)
m ik = m 0
d ik + xm ik
magnétiques
conducteur
E = rej
E i = re ik j k
résistivité,
j = seE
j i = se ik E k
conductivité
électriques
supraconducteur
dj
dt
=
1
m 0 l 2
s
E
ou j = −
1
m 0 l 2
s
A
(pour Q < Qc et H < Hc 1 ) profondeur
de pénétration
L’anisotropie de la matière joue également un rôle majeur dans l’interprétation des
mécanismes de couplage entre des propriétés de différentes natures. Tel est le cas
des couplages électro- ou magnéto-élastiques intervenant en piézoélectricité ou en
magnétostriction (cf section 4.4), domaines pour lesquels les raisonnements sur la
symétrie des tenseurs se révèlent très précieux.
Enfin, il convient de souligner que nombre des matériaux performants utilisés
en électromécanique suivent une loi de comportement éminemment non-linéaire.
L’hystérèse des matériaux ferromagnétiques ou ferroélectriques est particulièrement
révélatrice de ce type de difficulté [39]. Néanmoins, face à des conditions d’exploitation bien déterminées (par exemple lorsque le point de fonctionnement ne décrit
qu’une petite partie du cycle d’hystérésis), on pourra être amené à idéaliser ce type