2.3 Équations générales des systèmes électromécaniques
55
2.3.5 Lois constitutives des milieux
Les équations générales établies au cours des paragraphes précédents gouvernent la
dynamique des champs qui décrivent l’état mécanique et électromagnétique des milieux continus. La résolution de ces équations face à un problème particulier nécessite cependant, outre la connaissance des excitations extérieures et des conditions aux
limites, de disposer des lois de comportement caractéristiques des propriétés des milieux en présence. Ces lois de comportement, ou relations constitutives, établissent
un lien direct entre les composantes de certains vecteurs ou tenseurs représentatifs
de l’état électro-magnéto-mécanique de la matière. Généralement déduites de l’expérience, ces relations résultent dans la plupart des cas d’une approximation et demeurent attachées à des conditions de mesure bien spécifiques (par exemple à température constante, dans un système de référence où la matière est au repos). La réalité
physique qu’elles traduisent présente de ce fait un caractère relatif. Aussi, ces lois
ne sauraient être confondues avec les liens fondamentaux qu’expriment les relations
tensorielles covariantes établies pour certaines grandeurs physiques (telles que la relation (2.18)).
Dans le cas le plus simple, les propriétés de la matière se ramènent à une loi de
comportement linéaire. Le tableau 2.3 rassemble les relations constitutives linéaires
associées aux propriétés les plus couramment rencontrées dans les systèmes électromécaniques (milieux élastiques, diélectriques, magnétiques, conducteurs ou supraconducteurs
(1) ). La donnée d’une simple constante scalaire suffit alors à caractériser
le milieu lorsque son comportement est isotrope vis à vis de la propriété étudiée (la
réponse du milieu est dans ce cas indépendante de la direction dans laquelle il est
sollicité).
En présence d’une anisotropie, la loi de comportement sera décrite à l’aide d’un
tenseur dont les propriétés mathématiques sont étroitement liées aux éléments de symétrie de la structure considérée. Prenons à titre d’exemple le cas d’un milieu magnétique linéaire dont la structure cristalline possède un axe de symétrie d’ordre 2, c’està-dire qu’une rotation de p autour de cet axe fait coïncider le cristal avec lui-même.
Le problème étant rapporté à un système de référence orthonormé, convenons pour
(1) L’état supraconducteur se caractérise, de manière générale, par une résistivité électrique nulle (conductivité infinie) en deça d’une certaine température critique Qc. Associée aux équations de Maxwell, la loi
de comportement formulée dans le tableau 2.3 (théorie de London) permet ainsi de prévoir le phénomène
d’expulsion du champ magnétique (effet Meissner) lors de la transition entre l’état normal et l’état supraconducteur [7]. Le champ B étant identiquement nul dans le volume du matériau (la profondeur de pénétration ls
est de l’ordre de quelques dizaines de nanomètres), le milieu est alors assimilable à un diamagnétique parfait
(xm = −1). Notons cependant que cette situation particulière suppose que l’intensité du champ appliqué soit
inférieure à un certain niveau de champ critique de valeur très faible (H < Hc 1 pour un supraconducteur
de seconde espèce tel que Nb 3 Sn, composé pour lequel Hc 1 ≈ 0, 023 T ). Dans les applications pratiques de
la supraconductivité, on exploitera le plus souvent un état mixte (Hc 1 < H < Hc 2 ) dans lequel un champ
d’intensité significative (Hc 2 ≈ 23 T pour Nb 3 Sn) peut pénétrer le milieu sans en détruire complètement les
propriétés supraconductrices. Un champ baignant initialement le matériau pourra ainsi s’y trouver partiellement « piégé ». D’un point de vue comportemental, l’état mixte peut être décrit au moyen d’une loi combinant
l’équation de London et la relation classique des milieux conducteurs (loi d’ohm).
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2.3.5 Lois constitutives des milieux
Les équations générales établies au cours des paragraphes précédents gouvernent la
dynamique des champs qui décrivent l’état mécanique et électromagnétique des milieux continus. La résolution de ces équations face à un problème particulier nécessite cependant, outre la connaissance des excitations extérieures et des conditions aux
limites, de disposer des lois de comportement caractéristiques des propriétés des milieux en présence. Ces lois de comportement, ou relations constitutives, établissent
un lien direct entre les composantes de certains vecteurs ou tenseurs représentatifs
de l’état électro-magnéto-mécanique de la matière. Généralement déduites de l’expérience, ces relations résultent dans la plupart des cas d’une approximation et demeurent attachées à des conditions de mesure bien spécifiques (par exemple à température constante, dans un système de référence où la matière est au repos). La réalité
physique qu’elles traduisent présente de ce fait un caractère relatif. Aussi, ces lois
ne sauraient être confondues avec les liens fondamentaux qu’expriment les relations
tensorielles covariantes établies pour certaines grandeurs physiques (telles que la relation (2.18)).
Dans le cas le plus simple, les propriétés de la matière se ramènent à une loi de
comportement linéaire. Le tableau 2.3 rassemble les relations constitutives linéaires
associées aux propriétés les plus couramment rencontrées dans les systèmes électromécaniques (milieux élastiques, diélectriques, magnétiques, conducteurs ou supraconducteurs
(1) ). La donnée d’une simple constante scalaire suffit alors à caractériser
le milieu lorsque son comportement est isotrope vis à vis de la propriété étudiée (la
réponse du milieu est dans ce cas indépendante de la direction dans laquelle il est
sollicité).
En présence d’une anisotropie, la loi de comportement sera décrite à l’aide d’un
tenseur dont les propriétés mathématiques sont étroitement liées aux éléments de symétrie de la structure considérée. Prenons à titre d’exemple le cas d’un milieu magnétique linéaire dont la structure cristalline possède un axe de symétrie d’ordre 2, c’està-dire qu’une rotation de p autour de cet axe fait coïncider le cristal avec lui-même.
Le problème étant rapporté à un système de référence orthonormé, convenons pour
(1) L’état supraconducteur se caractérise, de manière générale, par une résistivité électrique nulle (conductivité infinie) en deça d’une certaine température critique Qc. Associée aux équations de Maxwell, la loi
de comportement formulée dans le tableau 2.3 (théorie de London) permet ainsi de prévoir le phénomène
d’expulsion du champ magnétique (effet Meissner) lors de la transition entre l’état normal et l’état supraconducteur [7]. Le champ B étant identiquement nul dans le volume du matériau (la profondeur de pénétration ls
est de l’ordre de quelques dizaines de nanomètres), le milieu est alors assimilable à un diamagnétique parfait
(xm = −1). Notons cependant que cette situation particulière suppose que l’intensité du champ appliqué soit
inférieure à un certain niveau de champ critique de valeur très faible (H < Hc 1 pour un supraconducteur
de seconde espèce tel que Nb 3 Sn, composé pour lequel Hc 1 ≈ 0, 023 T ). Dans les applications pratiques de
la supraconductivité, on exploitera le plus souvent un état mixte (Hc 1 < H < Hc 2 ) dans lequel un champ
d’intensité significative (Hc 2 ≈ 23 T pour Nb 3 Sn) peut pénétrer le milieu sans en détruire complètement les
propriétés supraconductrices. Un champ baignant initialement le matériau pourra ainsi s’y trouver partiellement « piégé ». D’un point de vue comportemental, l’état mixte peut être décrit au moyen d’une loi combinant
l’équation de London et la relation classique des milieux conducteurs (loi d’ohm).