2.3 Équations générales des systèmes électromécaniques
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effet sans difficulté, à partir des matrices de définition de ces quantités (cf. annexes
A.2.6 et A.3.6) et des relations tensorielles définissant les principaux opérateurs différentiels de l’analyse vectorielle (voir annexe A.6), que (2.52) se ramène aux deux
équations vectorielles rassemblées dans la colonne (a) du tableau 2.2 (la condition sur
la divergence se déduit de (2.52) en faisant m = 0, tandis que le rotationnel résulte
du regroupement des 3 équations relatives aux indices m = 1, 2, 3).
Par ailleurs, le champ ayant été défini comme le 4-rotationnel du potentiel, il satisfait nécessairement à la condition :
∂ r F lm + ∂ m F rl + ∂ l F mr = 0
(2.55)
(pour s’en convaincre, il suffit d’exprimer F lm en fonction du potentiel à l’aide de
(2.6 ) et d’additionner les 6 termes obtenus, en tirant parti du fait que les dérivées
seconde commutent).
En raison du caractère antisymétrique de F lm , cette condition se révèle triviale si
deux au moins des indices sont égaux. Le cas non-trivial, pour lequel les 3 indices r,
l, m sont tous différents (chacun variant de 1 à 4), fournit dès lors 4 équations indépendantes. On peut avantageusement en condenser l’écriture en utilisant le symbole
d’antisymétrie e
lmrs défini en annexe A.3.6. La condition (2.55) devient ainsi :
e
lmrs ∂ m F rs = ∂ m
e
lmrs
F rs
= 0
(2.56)
Fomulée à l’aide du tenseur antisymétrique adjoint F
lm
∗ =
1
2
e
lmrs
F rs (dont la
matrice est donnée dans le tableau (.1) de l’annexe A.3.6), on aboutit alors à une
nouvelle équation pour le champ donnée par :
∂ l F
lm
∗ = 0
(2.57)
Cette équation, qui résulte exclusivement du fait que l’on a défini pour le champ
des potentiels scalaire F et vecteur A, constitue la formulation tensorielle de la première paire des équations de Maxwell (équations homogènes) rappelées dans le tableau 2.2 (colonne (b)).
Enfin, un dernier jeu de relations particulièrement utile pour la détermination pratique du champ électromagnétique en fonction des sources correspond aux équations
aux potentiels. Ces dernières peuvent être aisément établies à partir de (2.53) en exprimant le champ en fonction du 4-vecteur potentiel. Il vient en effet :
∂ l ∂
l
A
m
− ∂ l ∂
m
A
l = m 0
J
m + ∂ l M
ml
(2.58)
Or, imposant au potentiel de satisfaire à la condition de jauge (2.11), le second
terme au premier membre de l’équation disparaît. L’opérateur différentiel qui subsiste
au premier membre n’est autre que le d’alembertien (cf. annexe A.7), si bien que
l’équation obtenue s’écrira finalement :
A
l = m 0
J
l + ∂ m M
lm
(2.59)
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effet sans difficulté, à partir des matrices de définition de ces quantités (cf. annexes
A.2.6 et A.3.6) et des relations tensorielles définissant les principaux opérateurs différentiels de l’analyse vectorielle (voir annexe A.6), que (2.52) se ramène aux deux
équations vectorielles rassemblées dans la colonne (a) du tableau 2.2 (la condition sur
la divergence se déduit de (2.52) en faisant m = 0, tandis que le rotationnel résulte
du regroupement des 3 équations relatives aux indices m = 1, 2, 3).
Par ailleurs, le champ ayant été défini comme le 4-rotationnel du potentiel, il satisfait nécessairement à la condition :
∂ r F lm + ∂ m F rl + ∂ l F mr = 0
(2.55)
(pour s’en convaincre, il suffit d’exprimer F lm en fonction du potentiel à l’aide de
(2.6 ) et d’additionner les 6 termes obtenus, en tirant parti du fait que les dérivées
seconde commutent).
En raison du caractère antisymétrique de F lm , cette condition se révèle triviale si
deux au moins des indices sont égaux. Le cas non-trivial, pour lequel les 3 indices r,
l, m sont tous différents (chacun variant de 1 à 4), fournit dès lors 4 équations indépendantes. On peut avantageusement en condenser l’écriture en utilisant le symbole
d’antisymétrie e
lmrs défini en annexe A.3.6. La condition (2.55) devient ainsi :
e
lmrs ∂ m F rs = ∂ m
e
lmrs
F rs
= 0
(2.56)
Fomulée à l’aide du tenseur antisymétrique adjoint F
lm
∗ =
1
2
e
lmrs
F rs (dont la
matrice est donnée dans le tableau (.1) de l’annexe A.3.6), on aboutit alors à une
nouvelle équation pour le champ donnée par :
∂ l F
lm
∗ = 0
(2.57)
Cette équation, qui résulte exclusivement du fait que l’on a défini pour le champ
des potentiels scalaire F et vecteur A, constitue la formulation tensorielle de la première paire des équations de Maxwell (équations homogènes) rappelées dans le tableau 2.2 (colonne (b)).
Enfin, un dernier jeu de relations particulièrement utile pour la détermination pratique du champ électromagnétique en fonction des sources correspond aux équations
aux potentiels. Ces dernières peuvent être aisément établies à partir de (2.53) en exprimant le champ en fonction du 4-vecteur potentiel. Il vient en effet :
∂ l ∂
l
A
m
− ∂ l ∂
m
A
l = m 0
J
m + ∂ l M
ml
(2.58)
Or, imposant au potentiel de satisfaire à la condition de jauge (2.11), le second
terme au premier membre de l’équation disparaît. L’opérateur différentiel qui subsiste
au premier membre n’est autre que le d’alembertien (cf. annexe A.7), si bien que
l’équation obtenue s’écrira finalement :
A
l = m 0
J
l + ∂ m M
lm
(2.59)