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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
déduire directement les équations du champ des équations de Lagrange écrites sous
la forme (2.45). Évaluons à cette fin les dérivées partielles de L par rapport aux
coordonnées et vitesses généralisées. Il vient tout d’abord :
∂L
∂
∂ l A m
= −
1
4
g ar g bs
d l
a d m
b
G
rs
− d l
b d m
a
G
rs + d l
r d m
s
G
ab
− d l
s d m
r
G
ab
(2.49)
ce qui se réduit, en vertu de la symétrie du tenseur métrique et du caractère antisymétrique de G
lm , à l’identité :
∂L
∂
∂ l A m
= G ml
(2.50)
D’autre part, on a de manière évidente :
∂L
∂ A m = −J m
(2.51)
Par conséquent, l’équation (2.45) s’écrira simplement (en remarquant que
g
mr ∂
l G ml = ∂ l G
rl = −∂ l G
lr ) :
∂ l G
lm = J
m
(2.52)
C’est l’équation qui régit la dynamique du champ électromagnétique en fonction
des sources en présence de milieux matériels. Exprimée en fonction du tenseur F
lm
à l’aide de (2.18), cette équation se met aussi sous la forme :
∂ l F
lm = m 0
J
m + ∂ l M
ml
(2.53)
faisant ainsi apparaître le 4-vecteur courant total J
m
T = J
m + ∂ l M
ml dans lequel
figurent conjointement les sources libres et liées
(1) . D’autre part, on déduit immédiatement de (2.52) la condition :
∂ l ∂ m G
lm = ∂ m J
m =
∂r
∂t
+ divj = 0
(2.54)
(l’action de l’opérateur symétrique ∂ l ∂ m sur le tenseur antisymétrique G
lm produit
une somme nulle).
Cette condition n’est autre que l’équation de continuité exprimant la conservation
de la charge électrique.
Dès lors, transcrite à l’aide des composantes « tridimensionnelles » de G
lm et
J
m , l’équation (2.52) apparaît comme une formulation particulièrement concise de
la deuxième paire des équations de Maxwell (équations homogènes). On montre en
(1) L’équation (2.52) aurait aussi pu être obtenue en postulant une densité lagrangienne de la forme :
L = −
1
4m 0
F lm F lm − AmJ
m
T .