2.3 Équations générales des systèmes électromécaniques
51
Le formalisme lagrangien appliqué à la description d’un champ continu (nombre
infini de degrés de liberté) conduit à considérer comme coordonnées généralisées (q
l )
les potentiels du champ regroupés dans le quadrivecteur A
l (cf. section 2.1.1), tandis
que le 4-gradient vectoriel ∂
l
A
m tient lieu de vitesse généralisée ( ˙
q
l ). La transposition des équations de Lagrange (2.34) au cas du champ continu impose alors à la
densité de lagrangien L de satisfaire aux équations :
∂
l
∂L
∂
∂ l A m
−
∂L
∂A m = 0
(2.45)
Considérant le cas général d’un champ électromagnétique dans lequel se meut un
ensemble de particules chargées (sources libres), en présence de milieux matériels
polarisés ou aimantés (sources liées), on peut postuler une densité lagrangienne de la
forme :
L = −
m 0
4
G rs G
rs
− A
m
J m
(2.46)
où le tenseur du champ G
rs tient compte, conformément aux définitions adoptées à
la section 2.2.2, des termes de polarisation et d’aimantation regroupés dans le tenseur
des moments M
lm . La fonction de Lagrange étant par définition un scalaire pur, il
est naturel que ses termes soient construits par contraction de deux tenseurs du même
rang (cf. A.3.2). Utilisant la relation (2.18), le développement de L donne :
L = −
1
4m 0
F rs + m 0 M rs
F
rs + m 0 M
rs
− A
m
J m
(2.47)
Ainsi, outre la densité lagrangienne du champ libre
(1) (terme en F rs F
rs ), l’expression de L traduit l’interaction du champ avec les sources liées d’une part (termes
en M rs F
rs ) et avec les sources libres d’autre part (terme A
m
J m ). Exprimée en
fonction du 4-potentiel grâce à (2.6), la densité de lagrangien associée au champ
électromagnétique s’écrit finalement :
L = −
1
4m 0
g ar g bs
∂
a
A
b
− ∂
b
A
a + m 0 M
ab
∂
r
A
s
− ∂
s
A
r + m 0 M
rs
−A
m
J m
(2.48)
Il convient dès lors, pour établir les équations différentielles gouvernant le champ
à partir du principe de moindre action, d’annuler la variation de l’intégrale (2.44)
portant sur la densité L ainsi exprimée (on devra toutefois prendre soin de ne pas
varier le tenseur des moments et le 4-vecteur courant qui correspondent tous deux à
des sources données dont la dynamique est de ce fait imposée). On peut également
(1) On vérifiera, en substituant les composantes de F rs données par (2.4), que la densité lagrangienne du
champ libre correspond à la différence des termes d’énergie volumique (B 2 /2m 0 ) et (e 0 E 2 /2) du champ dans
le vide. Ainsi, en accord avec la définition générale du lagrangien, l’expression de L prend la forme d’une
différence entre les termes d’énergie cinétique généralisée liés au mouvement des charges (énergie « magnétostatique ») et les termes d’énergie potentielle généralisée rendant compte de leur interaction « statique »
(énergie « électrostatique »).
51
Le formalisme lagrangien appliqué à la description d’un champ continu (nombre
infini de degrés de liberté) conduit à considérer comme coordonnées généralisées (q
l )
les potentiels du champ regroupés dans le quadrivecteur A
l (cf. section 2.1.1), tandis
que le 4-gradient vectoriel ∂
l
A
m tient lieu de vitesse généralisée ( ˙
q
l ). La transposition des équations de Lagrange (2.34) au cas du champ continu impose alors à la
densité de lagrangien L de satisfaire aux équations :
∂
l
∂L
∂
∂ l A m
−
∂L
∂A m = 0
(2.45)
Considérant le cas général d’un champ électromagnétique dans lequel se meut un
ensemble de particules chargées (sources libres), en présence de milieux matériels
polarisés ou aimantés (sources liées), on peut postuler une densité lagrangienne de la
forme :
L = −
m 0
4
G rs G
rs
− A
m
J m
(2.46)
où le tenseur du champ G
rs tient compte, conformément aux définitions adoptées à
la section 2.2.2, des termes de polarisation et d’aimantation regroupés dans le tenseur
des moments M
lm . La fonction de Lagrange étant par définition un scalaire pur, il
est naturel que ses termes soient construits par contraction de deux tenseurs du même
rang (cf. A.3.2). Utilisant la relation (2.18), le développement de L donne :
L = −
1
4m 0
F rs + m 0 M rs
F
rs + m 0 M
rs
− A
m
J m
(2.47)
Ainsi, outre la densité lagrangienne du champ libre
(1) (terme en F rs F
rs ), l’expression de L traduit l’interaction du champ avec les sources liées d’une part (termes
en M rs F
rs ) et avec les sources libres d’autre part (terme A
m
J m ). Exprimée en
fonction du 4-potentiel grâce à (2.6), la densité de lagrangien associée au champ
électromagnétique s’écrit finalement :
L = −
1
4m 0
g ar g bs
∂
a
A
b
− ∂
b
A
a + m 0 M
ab
∂
r
A
s
− ∂
s
A
r + m 0 M
rs
−A
m
J m
(2.48)
Il convient dès lors, pour établir les équations différentielles gouvernant le champ
à partir du principe de moindre action, d’annuler la variation de l’intégrale (2.44)
portant sur la densité L ainsi exprimée (on devra toutefois prendre soin de ne pas
varier le tenseur des moments et le 4-vecteur courant qui correspondent tous deux à
des sources données dont la dynamique est de ce fait imposée). On peut également
(1) On vérifiera, en substituant les composantes de F rs données par (2.4), que la densité lagrangienne du
champ libre correspond à la différence des termes d’énergie volumique (B 2 /2m 0 ) et (e 0 E 2 /2) du champ dans
le vide. Ainsi, en accord avec la définition générale du lagrangien, l’expression de L prend la forme d’une
différence entre les termes d’énergie cinétique généralisée liés au mouvement des charges (énergie « magnétostatique ») et les termes d’énergie potentielle généralisée rendant compte de leur interaction « statique »
(énergie « électrostatique »).