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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
d’où, par intégration par parties (sur le volume), en notant que la variation des déplacements ne peut porter que sur le domaine
∂V 0 T
où ils ne sont pas imposés :
(V 0 )
∂U
∂ S ik
dS ik dv =
1
2
∂V 0 T
(T ik du i ds k + T ik du k ds i )−
1
2
(V 0 )
(∂ k T ik du i + ∂ i T ik du k ) dv
(2.40)
soit finalement, en vertu de la symétrie du tenseur de contrainte :
(V 0 )
∂U
∂ S ik
dS ik dv =
∂V 0 T
T ik du i ds k −
(V 0 )
∂ k T ik du i dv
(2.41)
Par conséquent, la variation de l’action s’écrira :
dS =
t 2
t 1
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(V 0 )
∂ k T ik − r m 0 ¨
u i + F a i
du i dv +
∂V 0 T
T a i du i ds − T ik du i ds k
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
= 0
(2.42)
La variation du i étant arbitraire dans (V 0 ) et sur
∂V 0 T
, on en déduit alors les
équations traduisant l’équilibre dynamique du corps élastique :
r m 0 ¨
u i − ∂ k T ik − F a i = 0
dans (V 0 )
T ik n k = T a i sur
∂V 0 T
(2.43)
(n k désignent les cosinus directeurs de la normale extérieure à (V 0 ) ; n k ds = ds k ).
Notons que ces équations linéarisées sont valables dans le cas d’un milieu subissant de petites déformations. Nous laissons le soin au lecteur d’établir, selon un
raisonnement parfaitement similaire, les équations relatives au cas de déformations
élastiques quelconques caractérisées par l’expression complète de S ik incluant les
termes du second ordre (cf. section 2.2.3).
2.3.4 Équations du champ électromagnétique
La nature profondément relativiste de l’électromagnétisme conduit tout naturellement
à aborder la formulation variationnelle des lois régissant la dynamique du champ
électromagnétique dans le cadre de l’espace à quatre dimensions [36]. L’action S
pour le champ se définit alors comme l’intégrale d’une quantité scalaire L, appelée
densité de lagrangien, selon une relation de la forme :
S =
1
c
(V)
Ldv
(2.44)
où le « volume » d’intégration V (à quatre dimensions) correspond à l’ensemble de l’espace tridimensionnel pris entre les instants initial (t 1 ) et final (t 2 ),
dv = cdt d x dy dz désignant l’élément différentiel de cet hypervolume.
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
d’où, par intégration par parties (sur le volume), en notant que la variation des déplacements ne peut porter que sur le domaine
∂V 0 T
où ils ne sont pas imposés :
(V 0 )
∂U
∂ S ik
dS ik dv =
1
2
∂V 0 T
(T ik du i ds k + T ik du k ds i )−
1
2
(V 0 )
(∂ k T ik du i + ∂ i T ik du k ) dv
(2.40)
soit finalement, en vertu de la symétrie du tenseur de contrainte :
(V 0 )
∂U
∂ S ik
dS ik dv =
∂V 0 T
T ik du i ds k −
(V 0 )
∂ k T ik du i dv
(2.41)
Par conséquent, la variation de l’action s’écrira :
dS =
t 2
t 1
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(V 0 )
∂ k T ik − r m 0 ¨
u i + F a i
du i dv +
∂V 0 T
T a i du i ds − T ik du i ds k
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
= 0
(2.42)
La variation du i étant arbitraire dans (V 0 ) et sur
∂V 0 T
, on en déduit alors les
équations traduisant l’équilibre dynamique du corps élastique :
r m 0 ¨
u i − ∂ k T ik − F a i = 0
dans (V 0 )
T ik n k = T a i sur
∂V 0 T
(2.43)
(n k désignent les cosinus directeurs de la normale extérieure à (V 0 ) ; n k ds = ds k ).
Notons que ces équations linéarisées sont valables dans le cas d’un milieu subissant de petites déformations. Nous laissons le soin au lecteur d’établir, selon un
raisonnement parfaitement similaire, les équations relatives au cas de déformations
élastiques quelconques caractérisées par l’expression complète de S ik incluant les
termes du second ordre (cf. section 2.2.3).
2.3.4 Équations du champ électromagnétique
La nature profondément relativiste de l’électromagnétisme conduit tout naturellement
à aborder la formulation variationnelle des lois régissant la dynamique du champ
électromagnétique dans le cadre de l’espace à quatre dimensions [36]. L’action S
pour le champ se définit alors comme l’intégrale d’une quantité scalaire L, appelée
densité de lagrangien, selon une relation de la forme :
S =
1
c
(V)
Ldv
(2.44)
où le « volume » d’intégration V (à quatre dimensions) correspond à l’ensemble de l’espace tridimensionnel pris entre les instants initial (t 1 ) et final (t 2 ),
dv = cdt d x dy dz désignant l’élément différentiel de cet hypervolume.