2.3 Équations générales des systèmes électromécaniques
49
Pour ce système continu, les degrés de liberté s’identifient aux composantes u i du
vecteur déplacement en chacun des points du corps. L’énergie cinétique E c s’exprime
par :
E c =
1
2
(V 0 )
r m 0 ˙
u
2
i dv
(2.35)
où r m 0 désigne la masse volumique du milieu non-déformé.
Quant à l’énergie potentielle E p du système, elle comprend, d’une part, l’énergie
interne de déformation dont la densité volumique U est fonction du tenseur de déformation S ik , et, d’autre part, l’énergie potentielle associée aux sources mécaniques
extérieures, à l’origine des forces appliquées. L’énergie potentielle s’écrit donc :
E p =
(V 0 )
U (S ik ) dv −
(V 0 )
F a i (t) u i dv −
∂V 0 T
T a i (t) u i ds
(2.36)
en notant que les composantes des forces données (indépendantes des degrés de
liberté) apparaissent en toute logique comme la dérivée partielle du potentiel par
rapport aux composantes u i du déplacement (le signe négatif des termes d’énergie
correspondants tient à la nature « extérieure » de ces forces).
Le lagrangien du système correspondant à la différence L = E c − E p , le principe
de moindre action donne :
dS =
t 2
t 1
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(V 0 )
r m 0 ˙
u i d ˙
u i −
∂U
∂ S ik
dS ik + F a i du i
dv +
∂V 0 T
T a i du i ds
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
dt = 0
(2.37)
Intégrons par parties les deux premiers termes de l’intégrale de volume. Il vient
pour le premier, en tenant compte des conditions restrictives dq (t 1 ) = dq (t 2 ) = 0 :
t 2
t 1
r m 0 ˙
u i d ˙
u i dt = −
t 2
t 1
r m 0 ¨
u i du i dt
(2.38)
Substituant dans le deuxième terme l’expression (2.22) du tenseur de déformation
pour les petites déformations, et tenant compte de la relation (2.26) exprimant la
contrainte à partir de l’énergie, ce terme se met sous la forme :
(V 0 )
∂U
∂ S ik
dS ik dv =
1
2
(V 0 )
T ik d (∂ k u i − ∂ i u k ) dv
(2.39)
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Pour ce système continu, les degrés de liberté s’identifient aux composantes u i du
vecteur déplacement en chacun des points du corps. L’énergie cinétique E c s’exprime
par :
E c =
1
2
(V 0 )
r m 0 ˙
u
2
i dv
(2.35)
où r m 0 désigne la masse volumique du milieu non-déformé.
Quant à l’énergie potentielle E p du système, elle comprend, d’une part, l’énergie
interne de déformation dont la densité volumique U est fonction du tenseur de déformation S ik , et, d’autre part, l’énergie potentielle associée aux sources mécaniques
extérieures, à l’origine des forces appliquées. L’énergie potentielle s’écrit donc :
E p =
(V 0 )
U (S ik ) dv −
(V 0 )
F a i (t) u i dv −
∂V 0 T
T a i (t) u i ds
(2.36)
en notant que les composantes des forces données (indépendantes des degrés de
liberté) apparaissent en toute logique comme la dérivée partielle du potentiel par
rapport aux composantes u i du déplacement (le signe négatif des termes d’énergie
correspondants tient à la nature « extérieure » de ces forces).
Le lagrangien du système correspondant à la différence L = E c − E p , le principe
de moindre action donne :
dS =
t 2
t 1
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(V 0 )
r m 0 ˙
u i d ˙
u i −
∂U
∂ S ik
dS ik + F a i du i
dv +
∂V 0 T
T a i du i ds
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
dt = 0
(2.37)
Intégrons par parties les deux premiers termes de l’intégrale de volume. Il vient
pour le premier, en tenant compte des conditions restrictives dq (t 1 ) = dq (t 2 ) = 0 :
t 2
t 1
r m 0 ˙
u i d ˙
u i dt = −
t 2
t 1
r m 0 ¨
u i du i dt
(2.38)
Substituant dans le deuxième terme l’expression (2.22) du tenseur de déformation
pour les petites déformations, et tenant compte de la relation (2.26) exprimant la
contrainte à partir de l’énergie, ce terme se met sous la forme :
(V 0 )
∂U
∂ S ik
dS ik dv =
1
2
(V 0 )
T ik d (∂ k u i − ∂ i u k ) dv
(2.39)