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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
quantités dont les lois de transformation sont telles que :
U
lm = L
l
r L
m
s U
rs
(2.3)
U
rs = L
r
l L
s
m U
lm
constituera les composantes d’un tenseur U (d’ordre 2)
(1) . Ce nouvel invariant généralise les notions de scalaire (tenseur d’ordre 0) et de vecteur (tenseur d’ordre 1).
Tel que défini au paragraphe suivant, le champ électromagnétique correspond précisément à un 4-tenseur de l’espace-temps. Pour une introduction à ce sujet majeur,
dont la portée concerne tant l’électricité que la mécanique, on pourra se reporter à la
section A.3 de l’annexe.
2.1.2 Tenseur du champ électromagnétique
Dans l’univers relativiste, électricité et magnétisme apparaissent fondamentalement
comme la manifestation d’une seule et même réalité physique attachée au concept
de champ électromagnétique. Cette réalité est formellement décrite par un tenseur
antisymétrique du deuxième ordre F
lm , appelé tenseur champ électromagnétique,
dont la représentation matricielle correspond au tableau :
F
lm
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 −
E x
c
−
E y
c
−
E z
c
E x
c
0
−B z
B y
E y
c
B z
0
−B x
E z
c
−B y
B x
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(2.4)
où les grandeurs E x , E y , E z et B x , B y , B z correspondent respectivement aux composantes de ce que l’on a coutume d’appeler les « vecteurs » champ électrique E et
champ magnétique B de l’espace à trois dimensions. On adoptera ainsi très souvent la
notation F
lm =
E
c
, B
. Compte tenu de la forme particulière du tenseur métrique,
les composantes complètement covariantes F lm du tenseur de champ s’obtiendront
simplement en inversant le signe des termes de la première ligne et de la première
colonne de la matrice (2.4), ce qui revient à écrire F lm =
−
E
c
, B
.
Il convient cependant de noter que la nature de E et B reste fondamentalement
différente (cf. section A.3.6). Pour s’en convaincre, on peut notamment examiner les
lois de transformation que suivent les grandeurs F
lm , E et B lors d’un changement de
(1) Selon un abus de langage largement répandu dans la pratique des tenseurs [32], on parlera souvent du
« tenseur U lm » (ou du « vecteur x l ») pour désigner le tenseur U = U lm e l ⊗ em (respectivement le vecteur
x = x l e l ).
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
quantités dont les lois de transformation sont telles que :
U
lm = L
l
r L
m
s U
rs
(2.3)
U
rs = L
r
l L
s
m U
lm
constituera les composantes d’un tenseur U (d’ordre 2)
(1) . Ce nouvel invariant généralise les notions de scalaire (tenseur d’ordre 0) et de vecteur (tenseur d’ordre 1).
Tel que défini au paragraphe suivant, le champ électromagnétique correspond précisément à un 4-tenseur de l’espace-temps. Pour une introduction à ce sujet majeur,
dont la portée concerne tant l’électricité que la mécanique, on pourra se reporter à la
section A.3 de l’annexe.
2.1.2 Tenseur du champ électromagnétique
Dans l’univers relativiste, électricité et magnétisme apparaissent fondamentalement
comme la manifestation d’une seule et même réalité physique attachée au concept
de champ électromagnétique. Cette réalité est formellement décrite par un tenseur
antisymétrique du deuxième ordre F
lm , appelé tenseur champ électromagnétique,
dont la représentation matricielle correspond au tableau :
F
lm
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 −
E x
c
−
E y
c
−
E z
c
E x
c
0
−B z
B y
E y
c
B z
0
−B x
E z
c
−B y
B x
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(2.4)
où les grandeurs E x , E y , E z et B x , B y , B z correspondent respectivement aux composantes de ce que l’on a coutume d’appeler les « vecteurs » champ électrique E et
champ magnétique B de l’espace à trois dimensions. On adoptera ainsi très souvent la
notation F
lm =
E
c
, B
. Compte tenu de la forme particulière du tenseur métrique,
les composantes complètement covariantes F lm du tenseur de champ s’obtiendront
simplement en inversant le signe des termes de la première ligne et de la première
colonne de la matrice (2.4), ce qui revient à écrire F lm =
−
E
c
, B
.
Il convient cependant de noter que la nature de E et B reste fondamentalement
différente (cf. section A.3.6). Pour s’en convaincre, on peut notamment examiner les
lois de transformation que suivent les grandeurs F
lm , E et B lors d’un changement de
(1) Selon un abus de langage largement répandu dans la pratique des tenseurs [32], on parlera souvent du
« tenseur U lm » (ou du « vecteur x l ») pour désigner le tenseur U = U lm e l ⊗ em (respectivement le vecteur
x = x l e l ).