2.1 Le champ électromagnétique
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où g lm désigne le tenseur fondamental qui définit la métrique dont l’espace est muni.
Avec le système de coordonnées choisi (coordonnées rectilignes), ce tenseur est représenté par une matrice diagonale telle que g 00 = 1, g 11 = g 22 = g 33 = −1, g lm = 0
pour l = m (cf. relation .35).
En vertu du postulat de relativité, les phénomènes physiques se déroulent de manière identique dans tous les référentiels inertiels (référentiels en translation rectiligne
uniforme les uns par rapport aux autres). Il est donc légitime de chercher à mettre les
lois de la physique sous une forme covariante, indépendante du système de référence
choisi. Une question fondamentale consiste donc à identifier les grandeurs physiques
invariantes lors d’un changement de référentiel galiléen. L’intervalle défini par la
relation (2.1) joue précisément le rôle d’un invariant (scalaire) de l’espace-temps.
De même, les vecteurs (tels que le 4-vecteur événement par exemple) constituent-ils
des invariants qui gardent une signification physique intrinsèque, indépendamment
de la base sur laquelle ils sont décomposés. Ceci suppose en particulier que leurs
composantes obéissent à des lois de transformation précises lors d’un changement de
référentiel (un jeu de 4 nombres ne constituent pas nécessairement les composantes
d’un 4-vecteur !). Considérons en particulier le cas de deux référentiels R et R
dont
les axes sont parallèles deux à deux, le référentiel R
se déplaçant à la vitesse v dans
le sens des x croissants par rapport à R (les origines de R et R
coïncident pour
t = t
= 0). Si x
l et x
m désignent respectivement les composantes d’un vecteur x
(ou les coordonnées du point-événement de l’espace affine associé) par rapport aux
référentiels R et R
, alors ces composantes sont assujetties à la transformation de
Lorentz spéciale telle que :
x
l = L
l
m x
m
(2.2)
x
m = L
m
l x
l
où les quantités L
m
l et L
l
m sont explicitées en annexe (cf. section A.2.6).
Remarquons que ces lois de transformations, écrites à l’aide des composantes
contravariantes x
l du vecteur x (indices en position supérieure, conformément aux
règles détaillées à la section A.2.2) sont strictement inverses des relations de passage que suivent les vecteurs covariants formant la base (e l ). Dès lors, la grandeur
x =x
l e l = x
m e
m apparaît bien comme un invariant (vectoriel) de l’espace considéré.
Parmi les 4-vecteur jouant un rôle majeur en électrodynamique, on peut citer le
4-vecteur courant défini par J
l = (cr, j). Ce vecteur regroupe en une seule et même
entité les sources locales du champ que constituent la densité volumique de charge
r et la densité de courant volumique j (vecteur spatial). De même, le 4-potentiel
A
l =
F
c
, A
est construit en regroupant le potentiel scalaire électrique F et le
potentiel vecteur A [2].
Enfin, de même qu’un jeu de n quantités x
l suivant une loi de transformation
du type (2.2) constituent les composantes d’un vecteur x de E n , un ensemble de n
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où g lm désigne le tenseur fondamental qui définit la métrique dont l’espace est muni.
Avec le système de coordonnées choisi (coordonnées rectilignes), ce tenseur est représenté par une matrice diagonale telle que g 00 = 1, g 11 = g 22 = g 33 = −1, g lm = 0
pour l = m (cf. relation .35).
En vertu du postulat de relativité, les phénomènes physiques se déroulent de manière identique dans tous les référentiels inertiels (référentiels en translation rectiligne
uniforme les uns par rapport aux autres). Il est donc légitime de chercher à mettre les
lois de la physique sous une forme covariante, indépendante du système de référence
choisi. Une question fondamentale consiste donc à identifier les grandeurs physiques
invariantes lors d’un changement de référentiel galiléen. L’intervalle défini par la
relation (2.1) joue précisément le rôle d’un invariant (scalaire) de l’espace-temps.
De même, les vecteurs (tels que le 4-vecteur événement par exemple) constituent-ils
des invariants qui gardent une signification physique intrinsèque, indépendamment
de la base sur laquelle ils sont décomposés. Ceci suppose en particulier que leurs
composantes obéissent à des lois de transformation précises lors d’un changement de
référentiel (un jeu de 4 nombres ne constituent pas nécessairement les composantes
d’un 4-vecteur !). Considérons en particulier le cas de deux référentiels R et R
dont
les axes sont parallèles deux à deux, le référentiel R
se déplaçant à la vitesse v dans
le sens des x croissants par rapport à R (les origines de R et R
coïncident pour
t = t
= 0). Si x
l et x
m désignent respectivement les composantes d’un vecteur x
(ou les coordonnées du point-événement de l’espace affine associé) par rapport aux
référentiels R et R
, alors ces composantes sont assujetties à la transformation de
Lorentz spéciale telle que :
x
l = L
l
m x
m
(2.2)
x
m = L
m
l x
l
où les quantités L
m
l et L
l
m sont explicitées en annexe (cf. section A.2.6).
Remarquons que ces lois de transformations, écrites à l’aide des composantes
contravariantes x
l du vecteur x (indices en position supérieure, conformément aux
règles détaillées à la section A.2.2) sont strictement inverses des relations de passage que suivent les vecteurs covariants formant la base (e l ). Dès lors, la grandeur
x =x
l e l = x
m e
m apparaît bien comme un invariant (vectoriel) de l’espace considéré.
Parmi les 4-vecteur jouant un rôle majeur en électrodynamique, on peut citer le
4-vecteur courant défini par J
l = (cr, j). Ce vecteur regroupe en une seule et même
entité les sources locales du champ que constituent la densité volumique de charge
r et la densité de courant volumique j (vecteur spatial). De même, le 4-potentiel
A
l =
F
c
, A
est construit en regroupant le potentiel scalaire électrique F et le
potentiel vecteur A [2].
Enfin, de même qu’un jeu de n quantités x
l suivant une loi de transformation
du type (2.2) constituent les composantes d’un vecteur x de E n , un ensemble de n
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