A.6 Opérateurs différentiels
247
formule en fonction des composantes contravariantes. Ainsi, dans le cas des coordonnées cylindriques pour lesquelles les composantes covariantes du vecteur v s’expriment par
v 1 = g 11 v
1 = v r , v 2 = g 22 v
2 = g 22
v u /r
= r v u , v 3 = g 33 v
3 = v z
, il
vient pour le vecteur rotationnel exprimé dans un système normé :
rot
(n)
i v
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
rot r v =
g 22
g 33 (∂ 2 v 3 − ∂ 3 v 2 ) =
1
r
∂v z
∂u
−
∂v u
∂z
rot u v =
g 33
g 11 (∂ 3 v 1 − ∂ 1 v 3 ) =
∂v r
∂z
−
∂v z
∂r
rot z v =
g 11
g 22 (∂ 1 v 2 − ∂ 2 v 1 ) =
∂v u
∂r
+
v u
r
−
1
r
∂v r
∂u
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(.96)
A.6.6 Laplacien d’un champ de scalaires
Le gradient d’un champ de scalaire grad F étant un vrai vecteur (tenseur d’ordre 1),
il est légitime de prendre sa divergence pour former un scalaire pur. Ce scalaire est
appelé laplacien de F et l’opérateur correspondant, noté D, est défini par :
DF = div grad F = ∇ l
∂
l F
= ∇ l
g
lm ∂ m F
(.97)
La dérivée covariante pouvant être permutée avec l’opération de changement de
variance, on obtient finalement l’expression :
DF = g
lm
∇ l
∂ m F
= g
lm
∂ l ∂ m F − ∂ b FG l
b
m
(.98)
Dans le cas d’un système de coordonnées rectilignes (les G l
b
m sont nuls), l’expression du laplacien se réduit à DF = ∂ l ∂
l F. Si, en outre, le repère est orthonormé, on
obtient une expression de la forme DF = ∂ l ∂ l F qui, dans l’espace à 3 dimensions,
s’écrit classiquement :
DF =
∂ 2 F
∂x 2 +
∂ 2 F
∂ y 2 +
∂ 2 F
∂z 2
(.99)
Dans le cas d’un système de coordonnées cylindriques, la formule (.98) donne :
DF = g
11 ∂ 1 ∂ 1 F + g
22
∂ 2 ∂ 2 F − ∂ 1 F G 2
1
2
+ g
33 ∂ 3 ∂ 3 F
(.100)
d’où :
DF =
∂ 2 F
∂r 2 +
1
r
∂F
∂r
+
1
r 2
∂ 2 F
∂u 2 +
∂ 2 F
∂z 2
(.101)
A.6.7 Laplacien d’un champ de vecteur
La dérivée covariante d’un vecteur v forme un tenseur d’ordre 2 que l’on peut dériver
à son tour pour former le laplacien du vecteur v, conformément à la relation :
Dv = ∇ l
∇ m v
l
e
m
(.102)
247
formule en fonction des composantes contravariantes. Ainsi, dans le cas des coordonnées cylindriques pour lesquelles les composantes covariantes du vecteur v s’expriment par
v 1 = g 11 v
1 = v r , v 2 = g 22 v
2 = g 22
v u /r
= r v u , v 3 = g 33 v
3 = v z
, il
vient pour le vecteur rotationnel exprimé dans un système normé :
rot
(n)
i v
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
rot r v =
g 22
g 33 (∂ 2 v 3 − ∂ 3 v 2 ) =
1
r
∂v z
∂u
−
∂v u
∂z
rot u v =
g 33
g 11 (∂ 3 v 1 − ∂ 1 v 3 ) =
∂v r
∂z
−
∂v z
∂r
rot z v =
g 11
g 22 (∂ 1 v 2 − ∂ 2 v 1 ) =
∂v u
∂r
+
v u
r
−
1
r
∂v r
∂u
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(.96)
A.6.6 Laplacien d’un champ de scalaires
Le gradient d’un champ de scalaire grad F étant un vrai vecteur (tenseur d’ordre 1),
il est légitime de prendre sa divergence pour former un scalaire pur. Ce scalaire est
appelé laplacien de F et l’opérateur correspondant, noté D, est défini par :
DF = div grad F = ∇ l
∂
l F
= ∇ l
g
lm ∂ m F
(.97)
La dérivée covariante pouvant être permutée avec l’opération de changement de
variance, on obtient finalement l’expression :
DF = g
lm
∇ l
∂ m F
= g
lm
∂ l ∂ m F − ∂ b FG l
b
m
(.98)
Dans le cas d’un système de coordonnées rectilignes (les G l
b
m sont nuls), l’expression du laplacien se réduit à DF = ∂ l ∂
l F. Si, en outre, le repère est orthonormé, on
obtient une expression de la forme DF = ∂ l ∂ l F qui, dans l’espace à 3 dimensions,
s’écrit classiquement :
DF =
∂ 2 F
∂x 2 +
∂ 2 F
∂ y 2 +
∂ 2 F
∂z 2
(.99)
Dans le cas d’un système de coordonnées cylindriques, la formule (.98) donne :
DF = g
11 ∂ 1 ∂ 1 F + g
22
∂ 2 ∂ 2 F − ∂ 1 F G 2
1
2
+ g
33 ∂ 3 ∂ 3 F
(.100)
d’où :
DF =
∂ 2 F
∂r 2 +
1
r
∂F
∂r
+
1
r 2
∂ 2 F
∂u 2 +
∂ 2 F
∂z 2
(.101)
A.6.7 Laplacien d’un champ de vecteur
La dérivée covariante d’un vecteur v forme un tenseur d’ordre 2 que l’on peut dériver
à son tour pour former le laplacien du vecteur v, conformément à la relation :
Dv = ∇ l
∇ m v
l
e
m
(.102)