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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
En vertu des règles de formation de la dérivée covariante énoncée à la section
A.5.3, le calcul des composantes de Dv s’obtient de manière générale au moyen de la
formule :
∇ l
∇ m v
l
= ∂ l
∇ m v
l
+ ∇ m v
r G l
l
r − ∇ s v
l G l
s
m
(.103)
Dans le cas d’un système de coordonnées cartésiennes orthonormé, il vient simplement :
Dv = ∂ l
∂ m v l
e m
(.104)
soit, pour l’espace à 3 dimensions :
D
(o)
i v
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂
2 v x
∂x 2 +
∂ 2 v y
∂x∂ y
+
∂ 2 v z
∂x∂z
∂ 2 v y
∂ y 2 +
∂ 2 v x
∂x∂ y
+
∂ 2 v z
∂ y∂z
∂ 2 v z
∂z 2 +
∂ 2 v x
∂x∂z
+
∂ 2 v y
∂ y∂z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(.105)
Le calcul du laplacien en coordonnées cylindriques à l’aide de la formule (.103)
donne :
D i v
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∇ l
∇ 1 v
l
= ∂ 1
∇ 1 v
1
+ ∂ 2
∇ 1 v
2
+ ∂ 3
∇ 1 v
3
+ ∇ 1 v
1 G 2
2
1 − ∇ 2 v
2 G 2
2
1
∇ l
∇ 2 v
l
= ∂ 1
∇ 2 v
1
+ ∂ 2
∇ 2 v
2
+ ∂ 3
∇ 2 v
3
+ ∇ 2 v
1 G 2
2
1 − ∇ 2 v
1 G 1
2
2 − ∇ 1 v
2 G 2
1
2
∇ l
∇ 3 v
l
= ∂ 1
∇ 3 v
1
+ ∂ 2
∇ 3 v
2
+ ∂ 3
∇ 3 v
3
+ ∇ 3 v
1 G 2
2
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(.106)
d’où finalement, exprimé dans un système normé :
D
(n)
i v
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
D r v =
g 11 ∇ l
∇ 1 v
l
=
∂ 2 v r
∂r 2 +
1
r
∂ 2 v u
∂r∂u
+
∂ 2 v z
∂r∂z
+
1
r
∂v r
∂r
−
1
r 2
∂v u
∂u
−
v r
r 2
D u v =
g 22 ∇ l
∇ 2 v
l
=
1
r
∂ 2 v r
∂r∂u
+
1
r 2
∂ 2 v u
∂u 2 +
1
r 2
∂v r
∂u
+
1
r
∂ 2 v z
∂u∂z
D z v =
g 33 ∇ l
∇ 3 v
l
=
∂ 2 v r
∂r∂z
+
1
r
∂ 2 v u
∂u∂z
+
∂ 2 v z
∂z 2 +
1
r
∂v r
∂z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(.107)
A.6.8 Intégration
On peut établir pour l’intégration des tenseurs une formule très utile permettant de
transformer une intégrale de volume en intégrale de surface. Généralisant ainsi le