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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
A.6.4 Divergence d’un champ de tenseur
La dérivée covariante appliquée à un tenseur U d’ordre 2 forme un tenseur d’ordre 3.
On peut alors, par contraction d’indice, définir un vecteur (tenseur d’ordre 1) appelé
divergence du tenseur U. Décomposé sur la base réciproque, cet opérateur s’écrit :
Div U = ∇ l U
l
m e
m
(.91)
A.6.5 Rotationnel d’un champ de vecteurs
À partir des composantes de la dérivée covariante d’un vecteur v, on peut former un
tenseur antisymétrique d’ordre 2 appelé tenseur rotationnel de v et défini, sous sa
forme complètement covariante, par :
Rot v =
∇ l v r − ∇ r v l
e
r
⊗ e
l
(.92)
Remarquons que, en vertu de la relation (.77) donnant les symboles de Christoffel,
ces derniers sont symétriques par rapport à leurs indices inférieurs (G r
m
l = G l
m
r ),
d’où l’identité :
∇ l v r − ∇ r v l = ∂ l v r − v b G r
b
l − ∂ r v l + v b G l
b
r = ∂ l v r − ∂ r v l
(.93)
Ainsi, le tenseur rotationnel peut être directement construit à partir des composantes de la dérivée partielle ordinaire, en notant bien cependant que, prises indépendamment, les dérivées ordinaires des composantes d’un vecteur ne possèdent pas le
caractère tensoriel.
Dans le cas particulier de l’espace à trois dimensions, le tenseur rotationnel s’écrit
de manière générale :
[Rot ik v] =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
∂ 2 v 1 − ∂ 1 v 2 ∂ 3 v 1 − ∂ 1 v 3
∂ 1 v 2 − ∂ 2 v 1
0
∂ 3 v 2 − ∂ 2 v 3
∂ 1 v 3 − ∂ 3 v 1 ∂ 2 v 3 − ∂ 3 v 2
0
⎞
⎟
⎟
⎠
(.94)
Conformément aux considérations de la section A.3.5, on peut alors adjoindre au
tenseur rotationnel antisymétrique un pseudo-vecteur de l’espace E 3 appelé vecteur
rotationnel. Dans un système de coordonnées cartésiennes orthonormé, ce vecteur est
défini par :
rot
(o)
i v
=
⎛
⎜
⎜
⎝
rot x v = ∂ 2 v 3 − ∂ 3 v 2 = ∂v z /∂ y − ∂v y /∂z
rot y v = ∂ 3 v 1 − ∂ 1 v 3 = ∂v x /∂z − ∂v z /∂x
rot z v = ∂ 1 v 2 − ∂ 2 v 1 = ∂v y /∂x − ∂v x /∂ y
⎞
⎟
⎟
⎠
(.95)
Dans le cas où l’espace tridimensionnel est rapporté à un système de coordonnées curvilignes, le calcul des composantes du rotationnel d’un vecteur v défini par
ses composantes contravariantes
v
1 , v
2 , v
3
peut être mené à partir de la relation
(.93), les g ik permettant d’exprimer les composantes covariantes impliquée dans la
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
A.6.4 Divergence d’un champ de tenseur
La dérivée covariante appliquée à un tenseur U d’ordre 2 forme un tenseur d’ordre 3.
On peut alors, par contraction d’indice, définir un vecteur (tenseur d’ordre 1) appelé
divergence du tenseur U. Décomposé sur la base réciproque, cet opérateur s’écrit :
Div U = ∇ l U
l
m e
m
(.91)
A.6.5 Rotationnel d’un champ de vecteurs
À partir des composantes de la dérivée covariante d’un vecteur v, on peut former un
tenseur antisymétrique d’ordre 2 appelé tenseur rotationnel de v et défini, sous sa
forme complètement covariante, par :
Rot v =
∇ l v r − ∇ r v l
e
r
⊗ e
l
(.92)
Remarquons que, en vertu de la relation (.77) donnant les symboles de Christoffel,
ces derniers sont symétriques par rapport à leurs indices inférieurs (G r
m
l = G l
m
r ),
d’où l’identité :
∇ l v r − ∇ r v l = ∂ l v r − v b G r
b
l − ∂ r v l + v b G l
b
r = ∂ l v r − ∂ r v l
(.93)
Ainsi, le tenseur rotationnel peut être directement construit à partir des composantes de la dérivée partielle ordinaire, en notant bien cependant que, prises indépendamment, les dérivées ordinaires des composantes d’un vecteur ne possèdent pas le
caractère tensoriel.
Dans le cas particulier de l’espace à trois dimensions, le tenseur rotationnel s’écrit
de manière générale :
[Rot ik v] =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
∂ 2 v 1 − ∂ 1 v 2 ∂ 3 v 1 − ∂ 1 v 3
∂ 1 v 2 − ∂ 2 v 1
0
∂ 3 v 2 − ∂ 2 v 3
∂ 1 v 3 − ∂ 3 v 1 ∂ 2 v 3 − ∂ 3 v 2
0
⎞
⎟
⎟
⎠
(.94)
Conformément aux considérations de la section A.3.5, on peut alors adjoindre au
tenseur rotationnel antisymétrique un pseudo-vecteur de l’espace E 3 appelé vecteur
rotationnel. Dans un système de coordonnées cartésiennes orthonormé, ce vecteur est
défini par :
rot
(o)
i v
=
⎛
⎜
⎜
⎝
rot x v = ∂ 2 v 3 − ∂ 3 v 2 = ∂v z /∂ y − ∂v y /∂z
rot y v = ∂ 3 v 1 − ∂ 1 v 3 = ∂v x /∂z − ∂v z /∂x
rot z v = ∂ 1 v 2 − ∂ 2 v 1 = ∂v y /∂x − ∂v x /∂ y
⎞
⎟
⎟
⎠
(.95)
Dans le cas où l’espace tridimensionnel est rapporté à un système de coordonnées curvilignes, le calcul des composantes du rotationnel d’un vecteur v défini par
ses composantes contravariantes
v
1 , v
2 , v
3
peut être mené à partir de la relation
(.93), les g ik permettant d’exprimer les composantes covariantes impliquée dans la