A.6 Opérateurs différentiels
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A.6 OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS
A.6.1 Gradient d’un champ de scalaires
Soit F (M) un champ de scalaire d’un espace affine E n rapporté à un système de
coordonnées curvilignes
u
l
. Les dérivées partielles ∂ l F de ce champ constituent
les composantes covariantes d’un tenseur d’ordre 1 (vecteur) appelé gradient de F
et noté grad F. Les dérivées de F par rapport aux coordonnées covariantes correspondent aux composantes contravariantes du gradient notées ∂
m F.
On a ainsi :
grad F = ∂ l Fe
l = g
lm ∂ l Fe m = ∂
m Fe m
(.86)
Dans un système de coordonnées cylindriques normé (cf. la remarque de la section
A.4.3), le gradient est donné par :
grad
i (n) F
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
grad r F =
√ g 11 g
11 ∂ 1 F =
∂F
∂r
grad u F =
√ g 22 g
22 ∂ 2 F =
1
r
∂F
∂u
grad z F =
√ g 33 g
33 ∂ 3 F =
∂F
∂z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(.87)
A.6.2 Gradient d’un champ de vecteurs
Considérant un champ de vecteur v (M) de E n , on peut étendre la notion de gradient
au cas des vecteurs en définissant le gradient vectoriel construit à partir de la dérivée
covariante de v conformément à la relation :
grad v = ∇ l v
m e
l
⊗ e m
(.88)
A.6.3 Divergence d’un champ de vecteurs
La dérivée covariante de v correspond à un tenseur d’ordre 2. La contraction de ses
indices (cf. section A.3.2) permet de former un scalaire pur (tenseur d’ordre 0) appelé
divergence de v et défini par :
div v = ∇ l v
l = ∂ l v
l + v
a G l
l
a
(.89)
En coordonnées cartésiennes, les symboles de Christoffel sont nuls et la divergence
se réduit alors à la somme ∂ l v
l . Dans le cas général de coordonnées curvilignes, la
formule (.89) revient à calculer la trace de la matrice représentant la dérivée covariante. Ainsi, d’après la relation (.84), la divergence en coordonnées cylindriques
s’exprime par :
div v =
∂v r
∂r
+
1
r
∂v u
∂u
+
∂v z
∂z
+
v r
r
(.90)