244
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
v correspond à un tenseur d’ordre 2 dont les composantes covariantes s’expriment
conformément à la règle énoncée par :
∇ l v r = ∂ l v r − v b G r
b
l
(.81)
Formulé à l’aide de ses composantes mixtes, cet opérateur linéaire se définit également par la relation :
∇ l v
s = g
rs
∇ l v r = ∂ l v
s + v
a G l
s
a
(.82)
Reprenant l’exemple des coordonnées cylindriques, un vecteur v de composantes
(v r , v u , v z ) par rapport à un repère naturel normé (cf. la remarque de la section A.4.3)
a pour composantes contravariantes, par rapport à la base naturelle (e i ) au point M,
le triplet
v r , v u /r , v z
. Dès lors, compte tenu de la valeur particulière des symboles
de Christoffel en coordonnées cylindriques (cf. section A.5.2), la formule (.82) donne
pour les différentes composantes de la dérivée covariante :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∇ 1 v
1 = ∂ 1 v
1
; ∇ 2 v
1 = ∂ 2 v
1 + v
2 G 2
1
2
; ∇ 3 v
1 = ∂ 3 v
1
∇ 1 v
2 = ∂ 1 v
2 + v
2 G 1
2
2
; ∇ 2 v
2 = ∂ 2 v
2 + v
1 G 2
2
1
; ∇ 3 v
2 = ∂ 3 v
2
∇ 1 v
3 = ∂ 1 v
3
;
∇ 2 v
3 = ∂ 2 v
3
; ∇ 3 v
3 = ∂ 3 v
3
(.83)
Le tableau associé à la dérivée covariante en coordonnées cylindriques s’écrira
donc :
∇ l v
s
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂v r
∂r
∂v r
∂u
− v u
∂v r
∂z
1
r
∂v u
∂r
1
r
∂v u
∂u
+
v r
r
1
r
∂v u
∂z
∂v z
∂r
∂v z
∂u
∂v z
∂z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(.84)
Remarquons par ailleurs que la formule donnant la dérivée covariante d’un vecteur
v peut être déduite de l’expression de sa différentielle absolue. On a en effet :
dv = dv
s e s + v
a de a
= ∂ l v
s du
l e s + v
a ∂ l e a du
l
=
∂ l v
s + v
a G l
s
a
du
l e s
=
∇ l v
s
du
l e s
(.85)