A.5 Dérivation des tenseurs
243
Appliquées au cas des coordonnées cylindriques, ces formules donnent (on rappelle que g lm g
mr = d
r
l ) :
G 122 = G 221 = r ; G 212 = −r ; G rsl = 0 pour toute autre combinaison des indices
(.78)
d’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
de 1 = g
22 G 221 du
2 e 2 =
du/r
e 2
de 2 = g
11 G 212 du
2 e 1 + g
22 G 122 du
1 e 2 = (−rdu) e 1 +
dr/r
e 2
de 3 = 0
(.79)
Notons que les symboles de Christoffel ne doivent pas être assimilés à des tenseurs
du troisième ordre. En effet, comparée à la loi de transformation d’un tenseur, la
relation de changement de coordonnées à laquelle satisfont ces quantités comporte
un terme supplémentaire. Cette relation s’écrira de manière générale :
G r
m
l =
∂u m
∂u b
∂u a
∂u l
∂u s
∂u r G s
b
a +
∂u m
∂u a
∂ 2 u a
∂u l ∂u r
(.80)
Dans le cas particulier où le premier système de coordonnées est rectiligne
(
u
l = x
l
, les g lm sont des scalaires et les G s
b
a sont nuls), la relation de transformation se réduit au deuxième terme de la relation (.80). L’expression obtenue se
révèle alors particulièrement commode pour effectuer le calcul direct des symboles
de Christoffel associés aux systèmes de coordonnées curvilignes usuels.
A.5.3 Dérivée covariante
La variation du repère naturel entre deux points infiniment voisins étant déterminée,
on peut alors chercher à expliciter la différentielle absolue dU d’un tenseur donné.
Afin qu’elle soit évaluée en un seul et même point, cette différentielle est obtenue en
retranchant la valeur de U au point M à sa valeur en M
transportée au point M le
long d’une droite (géodésique) de E n [34].
On définit alors un nouvel opérateur de dérivation appelé dérivée covariante du
tenseur U. Contrairement à la dérivation partielle ordinaire, cet opérateur jouit dans
le cas général du caractère tensoriel. Il se révèle ainsi très précieux en physique lorsqu’il s’agit, face aux phénomènes de l’électrodynamique notamment, d’établir une loi
intrinsèquement liée à la réalité physique considérée, indépendamment du système de
référence choisi.
On montre que les composantes de la dérivée covariante d’un tenseur quelconque
( p fois contravariant et q fois covariant) s’obtiennent en ajoutant à la dérivée partielle ordinaire de ses composantes un terme de la forme U
···a···
m 1 ···mq G r
s
a pour chacun
de ses indices contravariants et en retranchant un terme de la forme U
l 1 ···lp
···b··· G r
b
l
pour chacun des indices covariants. En particulier, la dérivée covariante d’un vecteur
243
Appliquées au cas des coordonnées cylindriques, ces formules donnent (on rappelle que g lm g
mr = d
r
l ) :
G 122 = G 221 = r ; G 212 = −r ; G rsl = 0 pour toute autre combinaison des indices
(.78)
d’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
de 1 = g
22 G 221 du
2 e 2 =
du/r
e 2
de 2 = g
11 G 212 du
2 e 1 + g
22 G 122 du
1 e 2 = (−rdu) e 1 +
dr/r
e 2
de 3 = 0
(.79)
Notons que les symboles de Christoffel ne doivent pas être assimilés à des tenseurs
du troisième ordre. En effet, comparée à la loi de transformation d’un tenseur, la
relation de changement de coordonnées à laquelle satisfont ces quantités comporte
un terme supplémentaire. Cette relation s’écrira de manière générale :
G r
m
l =
∂u m
∂u b
∂u a
∂u l
∂u s
∂u r G s
b
a +
∂u m
∂u a
∂ 2 u a
∂u l ∂u r
(.80)
Dans le cas particulier où le premier système de coordonnées est rectiligne
(
u
l = x
l
, les g lm sont des scalaires et les G s
b
a sont nuls), la relation de transformation se réduit au deuxième terme de la relation (.80). L’expression obtenue se
révèle alors particulièrement commode pour effectuer le calcul direct des symboles
de Christoffel associés aux systèmes de coordonnées curvilignes usuels.
A.5.3 Dérivée covariante
La variation du repère naturel entre deux points infiniment voisins étant déterminée,
on peut alors chercher à expliciter la différentielle absolue dU d’un tenseur donné.
Afin qu’elle soit évaluée en un seul et même point, cette différentielle est obtenue en
retranchant la valeur de U au point M à sa valeur en M
transportée au point M le
long d’une droite (géodésique) de E n [34].
On définit alors un nouvel opérateur de dérivation appelé dérivée covariante du
tenseur U. Contrairement à la dérivation partielle ordinaire, cet opérateur jouit dans
le cas général du caractère tensoriel. Il se révèle ainsi très précieux en physique lorsqu’il s’agit, face aux phénomènes de l’électrodynamique notamment, d’établir une loi
intrinsèquement liée à la réalité physique considérée, indépendamment du système de
référence choisi.
On montre que les composantes de la dérivée covariante d’un tenseur quelconque
( p fois contravariant et q fois covariant) s’obtiennent en ajoutant à la dérivée partielle ordinaire de ses composantes un terme de la forme U
···a···
m 1 ···mq G r
s
a pour chacun
de ses indices contravariants et en retranchant un terme de la forme U
l 1 ···lp
···b··· G r
b
l
pour chacun des indices covariants. En particulier, la dérivée covariante d’un vecteur