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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Soulignons que la position basse de l’indice l dans l’écriture de cet opérateur est
parfaitement cohérente avec son caractère covariant. On a en effet :
∂
∂x l =
∂x m
∂x l
∂
∂x m
(.72)
et
∂
∂x m =
∂x l
∂x m
∂
∂x l
(.73)
Comparant ces relations avec les lois de transformation (.19) des composantes covariantes d’un vecteur (en faisant P
m
l =
∂x m
∂x l et P
l
m =
∂x l
∂x m ), la dérivation par rapport à une composante contravariante apparaît ainsi comme un opérateur covariant.
Réciproquement, on montre de même que la dérivation par rapport à une composante
covariante x l définit un opérateur contravariant noté ∂
l . On pourra généraliser aux
opérateurs différentiels les règles concernant l’abaissement ou l’élévation des indices
(∂ l = g lm ∂
m ; ∂
m = g
lm ∂ l ).
A.5.2 Symboles de Christoffel
Lorsqu’elle est envisagée dans le cadre général d’un système de coordonnées curvilignes, la dérivation ordinaire des composantes d’un vecteur, ou plus généralement
d’un tenseur U, n’a pas le caractère tensoriel recherché. En effet, le repère (naturel)
par rapport auquel les composantes de U sont exprimées change d’un point à un autre.
Il s’agit donc d’expliciter le calcul de la variation élémentaire de U, entre deux points
M et M
infiniment voisins, par rapport à un même repère. À cette fin, une première
étape consiste à exprimer la variation élémentaire de l des vecteurs de base en M et
M
par rapport au repère naturel au point M. Cette variation est donnée par :
de l = ∂ r e l du
r
(.74)
La décomposition de ∂ r e l sur la base naturelle en M s’écrit de manière générale :
∂ r e l = G r
m
l e m = g
ms G rsl e m
(.75)
où les quantités G rsl et G r
m
l désignent respectivement les symboles de Christoffel
de première et de deuxième espèce.
Il vient alors pour la variation des vecteurs de base :
de l = g
ms G rsl du
r e m
(.76)
Les symboles de Christoffel s’expriment en fonction des composantes du tenseur
fondamental selon la formule [34] :
G rsl =
1
2
∂ r g ls + ∂ l g sr − ∂ s g rl
(.77)
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Soulignons que la position basse de l’indice l dans l’écriture de cet opérateur est
parfaitement cohérente avec son caractère covariant. On a en effet :
∂
∂x l =
∂x m
∂x l
∂
∂x m
(.72)
et
∂
∂x m =
∂x l
∂x m
∂
∂x l
(.73)
Comparant ces relations avec les lois de transformation (.19) des composantes covariantes d’un vecteur (en faisant P
m
l =
∂x m
∂x l et P
l
m =
∂x l
∂x m ), la dérivation par rapport à une composante contravariante apparaît ainsi comme un opérateur covariant.
Réciproquement, on montre de même que la dérivation par rapport à une composante
covariante x l définit un opérateur contravariant noté ∂
l . On pourra généraliser aux
opérateurs différentiels les règles concernant l’abaissement ou l’élévation des indices
(∂ l = g lm ∂
m ; ∂
m = g
lm ∂ l ).
A.5.2 Symboles de Christoffel
Lorsqu’elle est envisagée dans le cadre général d’un système de coordonnées curvilignes, la dérivation ordinaire des composantes d’un vecteur, ou plus généralement
d’un tenseur U, n’a pas le caractère tensoriel recherché. En effet, le repère (naturel)
par rapport auquel les composantes de U sont exprimées change d’un point à un autre.
Il s’agit donc d’expliciter le calcul de la variation élémentaire de U, entre deux points
M et M
infiniment voisins, par rapport à un même repère. À cette fin, une première
étape consiste à exprimer la variation élémentaire de l des vecteurs de base en M et
M
par rapport au repère naturel au point M. Cette variation est donnée par :
de l = ∂ r e l du
r
(.74)
La décomposition de ∂ r e l sur la base naturelle en M s’écrit de manière générale :
∂ r e l = G r
m
l e m = g
ms G rsl e m
(.75)
où les quantités G rsl et G r
m
l désignent respectivement les symboles de Christoffel
de première et de deuxième espèce.
Il vient alors pour la variation des vecteurs de base :
de l = g
ms G rsl du
r e m
(.76)
Les symboles de Christoffel s’expriment en fonction des composantes du tenseur
fondamental selon la formule [34] :
G rsl =
1
2
∂ r g ls + ∂ l g sr − ∂ s g rl
(.77)