A.5 Dérivation des tenseurs
241
Dans le cas de l’espace à trois dimensions, la métrique en coordonnées cylindriques est ainsi donnée par :
(ds)
2 = dr
2 + r
2 du
2 + dz
2
(.70)
Remarquons enfin que l’on a généralement avantage, en physique, à exprimer la norme d’un vecteur et ses composantes avec une seule et même unité. À
cette fin, il suffit de rapporter les grandeurs vectorielles considérées à un repère
normé obtenu en divisant chaque vecteur de base par sa propre norme. Dans
le cas des coordonnées cylindriques par exemple, le repère
M, e 1 ,
1
r
e 2 , e 3
constitue le repère naturel normé au point M. Par conséquent, si
v
1 , v
2 , v
3
désignent les composantes (contravariantes) d’un vecteur v rapporté au repère naturel en M, les composantes de v par rapport au repère naturel normé seront
√ g 11 v
1 = v
1 ,
√ g 22 v
2 = r v
2 ,
√ g 33 v
3 = v
3
. De même pour les coordonnées covariantes (v 1 , v 2 , v 3 ) qui, exprimées par rapport à une base réciproque normée
e
1 , r e
2 , e
3
, deviennent
g 11 v 1 = v 1 ,
g 22 v 2 =
1
r
v 2 ,
g 33 v 3 = v 3
. Les composantes du tenseur métrique vérifient la relation g lm g
mr = d
r
l (cf. section A.2.2),
ce qui donne simplement dans le cas particulier des coordonnées cylindriques :
g
11 = 1/g 11 = 1, g
22 = 1/g 22 = 1/r
2 , g
33 = 1/g 33 = 1. À noter que lorsque
la base naturelle est orthogonale, les composantes covariantes et contravariantes
d’un vecteur décomposé sur la base naturelle normée seront égales (en coordonnées
cylindriques, on vérifie bien en particulier l’identité
√ g 22 v
2 =
g 22 v 2 = r v
2 ).
A.5 DÉRIVATION DES TENSEURS
A.5.1 Opérateur de dérivation
Considérons un champ de tenseur U (M) définit en attachant en chaque point M
de l’espace affine E n un tenseur U. Ce tenseur au point M peut éventuellement dépendre d’autres paramètres. Ainsi, un tenseur variable dépendant du temps sera noté
U (M, t). Évaluée en un seul et même point M, la dérivée du tenseur U par rapport à
l’un des paramètres autres que les coordonnées s’obtiendra aisément en généralisant
les résultats concernant la dérivation des vecteurs.
L’espace étant rapporté dans un premier temps à un système de coordonnées rectilignes
x
l
, la dérivation des composantes d’un tenseur par rapport aux coordonnées
du point considéré forme un nouveau tenseur. On définit ainsi un opérateur de dérivation que nous écrirons, conformément aux règles de la notation indicielle :
∂ l =
∂
∂x l
(.71)
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Dans le cas de l’espace à trois dimensions, la métrique en coordonnées cylindriques est ainsi donnée par :
(ds)
2 = dr
2 + r
2 du
2 + dz
2
(.70)
Remarquons enfin que l’on a généralement avantage, en physique, à exprimer la norme d’un vecteur et ses composantes avec une seule et même unité. À
cette fin, il suffit de rapporter les grandeurs vectorielles considérées à un repère
normé obtenu en divisant chaque vecteur de base par sa propre norme. Dans
le cas des coordonnées cylindriques par exemple, le repère
M, e 1 ,
1
r
e 2 , e 3
constitue le repère naturel normé au point M. Par conséquent, si
v
1 , v
2 , v
3
désignent les composantes (contravariantes) d’un vecteur v rapporté au repère naturel en M, les composantes de v par rapport au repère naturel normé seront
√ g 11 v
1 = v
1 ,
√ g 22 v
2 = r v
2 ,
√ g 33 v
3 = v
3
. De même pour les coordonnées covariantes (v 1 , v 2 , v 3 ) qui, exprimées par rapport à une base réciproque normée
e
1 , r e
2 , e
3
, deviennent
g 11 v 1 = v 1 ,
g 22 v 2 =
1
r
v 2 ,
g 33 v 3 = v 3
. Les composantes du tenseur métrique vérifient la relation g lm g
mr = d
r
l (cf. section A.2.2),
ce qui donne simplement dans le cas particulier des coordonnées cylindriques :
g
11 = 1/g 11 = 1, g
22 = 1/g 22 = 1/r
2 , g
33 = 1/g 33 = 1. À noter que lorsque
la base naturelle est orthogonale, les composantes covariantes et contravariantes
d’un vecteur décomposé sur la base naturelle normée seront égales (en coordonnées
cylindriques, on vérifie bien en particulier l’identité
√ g 22 v
2 =
g 22 v 2 = r v
2 ).
A.5 DÉRIVATION DES TENSEURS
A.5.1 Opérateur de dérivation
Considérons un champ de tenseur U (M) définit en attachant en chaque point M
de l’espace affine E n un tenseur U. Ce tenseur au point M peut éventuellement dépendre d’autres paramètres. Ainsi, un tenseur variable dépendant du temps sera noté
U (M, t). Évaluée en un seul et même point M, la dérivée du tenseur U par rapport à
l’un des paramètres autres que les coordonnées s’obtiendra aisément en généralisant
les résultats concernant la dérivation des vecteurs.
L’espace étant rapporté dans un premier temps à un système de coordonnées rectilignes
x
l
, la dérivation des composantes d’un tenseur par rapport aux coordonnées
du point considéré forme un nouveau tenseur. On définit ainsi un opérateur de dérivation que nous écrirons, conformément aux règles de la notation indicielle :
∂ l =
∂
∂x l
(.71)