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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
à Oz) et e 3 sont orthogonaux. Les coordonnées cylindriques constituent dès lors un
système de coordonnées curvilignes orthogonales.
Enfin, considérant le passage d’un système de coordonnées curvilignes
u
l
à un
autre
u
r
, on obtient pour les vecteurs des bases correspondantes :
e
r =
∂M
∂u r =
∂M
∂u l
∂u l
∂u r =
∂u l
∂u r e l
(.64)
e l =
∂M
∂u l =
∂u r
∂u l e
r
Quant aux relations concernant les composantes d’un vecteur x quelconque, elles
sont telles que :
x = u
l e l = u
l ∂u r
∂u l e
r = u
r e
r = u
r ∂u l
∂u r e l
(.65)
d’où :
u
l =
∂u l
∂u r u
r
(.66)
u
r =
∂u r
∂u l u
l
Par conséquent, identifiant ces relations avec les lois de transformations établies
au cours des sections A.1 et A.2 (en faisant
∂u l
∂u r = P
l
r et
∂u r
∂u l = P
r
l ), on vérifie
bien que les composantes (contravariantes) u
l se transforment de manière contraire
aux vecteurs de base (covariants) e l .
A.4.3 Métrique en coordonnées curvilignes
Dans le cas général, les vecteurs de la base naturelle varient d’un point à un autre et ne
sont pas tous normés. Ils définissent ainsi une métrique dont le tenseur fondamental
g lm doit être attaché à chaque point de l’espace affine considéré. Ainsi, dans le cas
du système de coordonnées cylindriques, les composantes de ce tenseur sont données
par :
g 11 = e 1 ·e 1 = 1 ; g 22 = e 2 ·e 2 = r
2 ; g 33 = e 3 ·e 3 = 1
g ik = 0 pour i = k
(.67)
La différentielle du vecteur OM (qui ne dépend que du point M choisi) s’écrivant :
dOM = dM =
∂M
∂u r du
r = du
r e r
(.68)
les quantités du
r apparaissent comme les composantes contravariantes du vecteur
dM rapporté au repère naturel
M, e r
. En vertu de la relation (.34), la distance entre
deux points infiniment voisins de E n s’écrit alors dans le repère naturel :
(ds)
2 = g rs du
r du
s
(.69)
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
à Oz) et e 3 sont orthogonaux. Les coordonnées cylindriques constituent dès lors un
système de coordonnées curvilignes orthogonales.
Enfin, considérant le passage d’un système de coordonnées curvilignes
u
l
à un
autre
u
r
, on obtient pour les vecteurs des bases correspondantes :
e
r =
∂M
∂u r =
∂M
∂u l
∂u l
∂u r =
∂u l
∂u r e l
(.64)
e l =
∂M
∂u l =
∂u r
∂u l e
r
Quant aux relations concernant les composantes d’un vecteur x quelconque, elles
sont telles que :
x = u
l e l = u
l ∂u r
∂u l e
r = u
r e
r = u
r ∂u l
∂u r e l
(.65)
d’où :
u
l =
∂u l
∂u r u
r
(.66)
u
r =
∂u r
∂u l u
l
Par conséquent, identifiant ces relations avec les lois de transformations établies
au cours des sections A.1 et A.2 (en faisant
∂u l
∂u r = P
l
r et
∂u r
∂u l = P
r
l ), on vérifie
bien que les composantes (contravariantes) u
l se transforment de manière contraire
aux vecteurs de base (covariants) e l .
A.4.3 Métrique en coordonnées curvilignes
Dans le cas général, les vecteurs de la base naturelle varient d’un point à un autre et ne
sont pas tous normés. Ils définissent ainsi une métrique dont le tenseur fondamental
g lm doit être attaché à chaque point de l’espace affine considéré. Ainsi, dans le cas
du système de coordonnées cylindriques, les composantes de ce tenseur sont données
par :
g 11 = e 1 ·e 1 = 1 ; g 22 = e 2 ·e 2 = r
2 ; g 33 = e 3 ·e 3 = 1
g ik = 0 pour i = k
(.67)
La différentielle du vecteur OM (qui ne dépend que du point M choisi) s’écrivant :
dOM = dM =
∂M
∂u r du
r = du
r e r
(.68)
les quantités du
r apparaissent comme les composantes contravariantes du vecteur
dM rapporté au repère naturel
M, e r
. En vertu de la relation (.34), la distance entre
deux points infiniment voisins de E n s’écrit alors dans le repère naturel :
(ds)
2 = g rs du
r du
s
(.69)