A.4 Coordonnées curvilignes
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des machines tournantes, ce système est défini par :
x
1 = r cos u ; x
2 = r sin u ; x
3 = z
(.60)
avec
r > 0 et 0 < u < 2p
On notera que la relation biunivoque entre les coordonnées rectilignes et cylindriques pour un point donné n’est assurée que si l’espace E 3 est privé de la droite
confondue avec l’axe Oz.
Les lignes coordonnées d’un système de référence sont obtenues en fixant n − 1
paramètres et en faisant varier celui qui reste. En coordonnées rectilignes, on obtient
ainsi des droites parallèles aux axes du repère. Dans le cas général d’un système de
coordonnées curvilignes, ces lignes sont des courbes (d’où l’adjectif curviligne). En
tout point M de l’espace E n se coupent n lignes coordonnées. Les lignes coordonnées
du système cylindrique correspondent ainsi aux droites radiales coupant perpendiculairement l’axe Oz, aux droites parallèles à Oz, et aux cercles concentriques centrés
sur l’axe Oz (dans un plan perpendiculaire à cet axe).
A.4.2 Repère naturel
En chaque point M de l’espace affine E n , de coordonnées
x
l
, on peut définir un
ensemble de n vecteurs e r obtenus par :
e r =
∂OM
∂u r =
∂
∂u r
x
l e
(o)
l
=
∂x l
∂u r
e
(o)
l
(.61)
À noter que la dérivation dans E n est indépendante du choix du point origine, si
bien que l’on écrira souvent :
e r =
∂OM
∂u r =
∂M
∂u r
(.62)
Le jacobien
∂x l
∂u r
étant non nul, la relation (.61) assure l’indépendance linéaire
des n vecteurs e r . Ils forment donc une base de E n , appelée base naturelle. Associée
au point M, cette base définit le repère naturel
M, e r
du système de coordonnées
curvilignes au point considéré.
Reprenant l’exemple des coordonnées cylindriques de l’espace à trois dimensions,
il vient immédiatement : ⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
e 1 = cos ue
(o)
1 + sin ue
(o)
2
e 2 = −r sin ue
(o)
1 + r cos ue
(o)
2
e 3 = e
(o)
3
(.63)
On remarque que les vecteurs e 1 (colinéaire à OM et de même sens), e 2 (tangent
au cercle passant par M, centré sur l’axe Oz et contenu dans un plan perpendiculaire
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des machines tournantes, ce système est défini par :
x
1 = r cos u ; x
2 = r sin u ; x
3 = z
(.60)
avec
r > 0 et 0 < u < 2p
On notera que la relation biunivoque entre les coordonnées rectilignes et cylindriques pour un point donné n’est assurée que si l’espace E 3 est privé de la droite
confondue avec l’axe Oz.
Les lignes coordonnées d’un système de référence sont obtenues en fixant n − 1
paramètres et en faisant varier celui qui reste. En coordonnées rectilignes, on obtient
ainsi des droites parallèles aux axes du repère. Dans le cas général d’un système de
coordonnées curvilignes, ces lignes sont des courbes (d’où l’adjectif curviligne). En
tout point M de l’espace E n se coupent n lignes coordonnées. Les lignes coordonnées
du système cylindrique correspondent ainsi aux droites radiales coupant perpendiculairement l’axe Oz, aux droites parallèles à Oz, et aux cercles concentriques centrés
sur l’axe Oz (dans un plan perpendiculaire à cet axe).
A.4.2 Repère naturel
En chaque point M de l’espace affine E n , de coordonnées
x
l
, on peut définir un
ensemble de n vecteurs e r obtenus par :
e r =
∂OM
∂u r =
∂
∂u r
x
l e
(o)
l
=
∂x l
∂u r
e
(o)
l
(.61)
À noter que la dérivation dans E n est indépendante du choix du point origine, si
bien que l’on écrira souvent :
e r =
∂OM
∂u r =
∂M
∂u r
(.62)
Le jacobien
∂x l
∂u r
étant non nul, la relation (.61) assure l’indépendance linéaire
des n vecteurs e r . Ils forment donc une base de E n , appelée base naturelle. Associée
au point M, cette base définit le repère naturel
M, e r
du système de coordonnées
curvilignes au point considéré.
Reprenant l’exemple des coordonnées cylindriques de l’espace à trois dimensions,
il vient immédiatement : ⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
e 1 = cos ue
(o)
1 + sin ue
(o)
2
e 2 = −r sin ue
(o)
1 + r cos ue
(o)
2
e 3 = e
(o)
3
(.63)
On remarque que les vecteurs e 1 (colinéaire à OM et de même sens), e 2 (tangent
au cercle passant par M, centré sur l’axe Oz et contenu dans un plan perpendiculaire